ما قانون التربيع والتكعيب؟

ينص قانون التربيع والتكعيب على أنه إذا تضاعف كل بُعد خطي، فإن مساحات السطح والمقاطع الحاملة للأحمال تكبر أربعة أضعاف، بينما يكبر الحجم ثمانية أضعاف. وعند ثبات الكثافة، يزداد الوزن أيضًا ثمانية أضعاف، لذا يضع التصميم المماثل هندسيًا ضعف الحمل على كل وحدة من مساحة الدعم.

بلغ ارتفاع Paraceratherium transouralicum عند الكتف أقل بقليل من 5 m (16 ft)، أي نحو 2.5 من ارتفاعات الأبواب. ويصف عرض متحف التاريخ الطبيعي عن Paraceratherium (تفتح في علامة تبويب جديدة) حيوانًا عملاقًا معروفًا من السجل الأحفوري. إن مضاعفة نموذج لشكل هذا الحيوان تجربة ذهنية، وليست طريقة لحساب كتلته الفعلية.

العوامل المضاعِفة الكامنة وراء تغيّر الحجم

لنسمِّ عامل القياس k. يُضرب كل بُعد في جسم مماثل هندسيًا في k. يمتد السطح أو المقطع العرضي للساق في اتجاهين (تفتح في علامة تبويب جديدة)، لذلك تتغير مساحته بمقدار k². أما الحجم فيمتد في ثلاثة اتجاهات، لذا يتغير بمقدار k³. عندما تكون k تساوي اثنين، ينتج عن هذين الأسّين أربعة للمساحة وثمانية للحجم. ويشير التربيع والتكعيب في اسم القانون إلى الأسّين المطبَّقين على التغيّر في الطول.

لا يزداد حجم الجسم الأكبر بالنسبة نفسها في كل أجزائه. فأسطحه الخارجية ومقاطع الدعم تكبر بمقدار المساحة، بينما تزداد كتلته بمقدار الحجم. وعند تساوي الكثافة، يعني الحجم الأكبر كتلة أكبر، ومن ثم وزنًا أكبر. في نموذج Paraceratherium، تزداد مساحة المقاطع الداعمة للأرجل، لكن الوزن الذي ينبغي لها حمله يزداد بوتيرة أسرع. وهذه الزيادة في الحمل لكل وحدة مساحة هي سبب صعوبة الإبقاء على النسب نفسها كلما كبر التصميم.

بلغ ارتفاع الفيل ذي الأنياب المستقيمة، Palaeoloxodon antiquus، عند الكتف 4 m (13 ft)، وعاش في أنحاء أوروبا خلال العصر الجليدي. وهذا يقارب ضعفي ارتفاع باب قياسي. ويوفر قياس ارتفاع كتفه مقياسًا حقيقيًا لحجم الحيوان يمكن مقارنته بـParaceratherium، بينما يظل تمرين القياس مركزًا على ما قد يحدث لشكل واحد إذا تغيّرت أبعاده.

لماذا تصبح مهمة الدعم أصعب

بلغ طول بدن البارجة من فئة Yamato، وهي سفينة عسكرية يابانية، 263 m (863 ft)، وكانت تحمل مدافع رئيسية عيار 46 cm. وكان طول بدنها يعادل نحو 2.5 من أطوال ملاعب كرة القدم. يوضح هذا القياس حجم سفينة حقيقية، لكن طولها وحده لا يخبرنا كيف تعامل هيكلها مع الإجهاد.

يصف الإجهاد مقدار القوة التي تتحملها مساحة معينة. تخيّل عارضة سقف كُبّرت بانتظام كي تمتد عبر قاعة أوسع. ينبغي لمقطع العارضة أن يحمل وزن العارضة والسقف، فيما يغيّر امتدادها الأطول طريقة انحناء الهيكل تحت ذلك الحمل. وإذا نمت جميع الأجزاء بالنسبة نفسها، فستزداد مساحة المقطع بوتيرة أبطأ من ازدياد وزن العارضة الناتج عن زيادة حجمها. ولا يستطيع التصميم الاعتماد على نسبه المألوفة وحدها للحفاظ على هامش الدعم نفسه.

يمكن للمهندسين مواجهة ذلك بجعل العارضة أعمق أو أعرض نسبةً إلى امتدادها، أو بإضافة دعامات، أو بوضع أعمدة تتيح للحمل مسارًا آخر إلى الأرض. فالعارضة الأعمق تقاوم الانحناء بفاعلية أكبر، والأعمدة الإضافية تقصّر الامتداد غير المدعوم لكنها تؤثر في المساحة أسفلها. وقد تساعد المواد الأقوى أيضًا، لكن يظل لزامًا وصل العارضة ببقية المبنى بأمان. ويغيّر كل خيار طريقة انتقال القوى عبر الهيكل بدلًا من مجرد تكبير كل جزء من أجزائه.

يواجه بدن السفينة نسخة مختلفة من المشكلة. فالبدن والإطار الداخلي يوزعان القوى عبر هيكل كبير، كما تتفاعل السفينة مع الماء الذي يسندها. ويتناول شرح جامعة هيوستن الهندسي لتأثير تغيير الحجم (تفتح في علامة تبويب جديدة) سبب عدم قدرة المصممين على افتراض أن الجسم المكبَّر سيؤدي مثل نظيره الأصغر. ويذكّرنا بدن Yamato الطويل بأن السفينة الحقيقية تحتاج إلى إطار وتخطيط مصممين لتحمل أحمالها، لا إلى مخطط مصغّر جرى تمديده إلى الحجم الكامل.

كيف يدفع القانون أجسام الكائنات الحية إلى التغيّر

بلغ ارتفاع الثدييين اللذين عاشت بقاياهما في عصور ما قبل التاريخ، Paraceratherium وPalaeoloxodon، عند الكتف أقل بقليل من 5 m و4 m على التوالي. وبلغ ارتفاع Paraceratherium نحو 2.5 من ارتفاعات الأبواب. تجعل هذه القياسات حجمهما ملموسًا، لكن ارتفاع الكتف لا يكشف كتلتيهما ولا مقدار القوة التي تحملتها عظمة بعينها.

بلغ طول جسم الديناصور التيتانوصور Dreadnoughtus schrani المقدّر 26 m (85 ft)، أي نحو 2.2 من أطوال حافلات المدينة. وقد عُرف من هيكل عظمي مكتمل على نحو استثنائي عُثر عليه في الأرجنتين، ويصفه عرض متحف التاريخ الطبيعي عن Dreadnoughtus (تفتح في علامة تبويب جديدة) بأنه تيتانوصور ضخم. ويدعم الهيكل العظمي تقدير طول الجسم؛ أما قانون التربيع والتكعيب فلا يستطيع وحده تحويل هذا الطول إلى تقدير للكتلة.

ليس الحيوان الحي حيوانًا صغيرًا كُبّر بالتساوي. فشكل العظام والعضلات والوضعية وتوزيع الكتلة كلها تؤثر في كيفية انتقال وزن الجسم إلى الأرض. ويؤدي جعل الطرف أكثر سماكة أو تغيير الوقفة إلى تعديل نظام الدعم؛ وهذه استجابات محتملة لضغوط الحجم، وليست معادلة لإعادة بناء تشريح Paraceratherium أو Dreadnoughtus انطلاقًا من قياس واحد. يساعد القانون على تحديد المشكلة التي يواجهها الجسم كلما كبر، بينما تحفظ الهياكل العظمية الأحفورية أدلة على الحيوانات التي عاشت بالفعل.

وتنطبق الهندسة نفسها على نطاق أصغر بكثير. يبلغ عرض البكتيريا Deinococcus radiodurans، المنتمية إلى عالم الميكروبات، 2 µm؛ ويبلغ عرض خلية الدم الحمراء 7.5 µm، أي نحو 3.8 أضعاف ذلك القطر. وفي الخلايا، يؤثر التوازن بين الحجم ومساحة السطح في دخول المواد وخروجها. وتبحث مراجعة مجلة American Naturalist عن تغيّر مساحة السطح بتغيّر الحجم لدى الخلايا والكائنات (تفتح في علامة تبويب جديدة)، وكيف تتعامل الأنظمة الحية مع هذه القيود. تواجه الخلية والثديي العملاق مشكلات عملية مختلفة، لكن كليهما يتأثر بالعلاقة بين المساحة والحجم.

لماذا يشكّل القانون ضغطًا لا إشارة توقف

يصف قانون التربيع والتكعيب القياس المتجانس، ولا يفرض أن يحافظ كل جسم حقيقي على نسبه الأصلية. يمكن أن تصبح عارضة السقف أعمق نسبةً إلى امتدادها، ويمكن للسفينة استخدام إطار يوجّه القوى عبر أجزاء تتجاوز غلافها الخارجي. وفي الثدييات الكبيرة، تشكّل العظام والعضلات والوضعية نظام دعم، لا كومة من أجزاء متطابقة مكبّرة. وقد يظل التصميم المعدّل صالحًا؛ لكنه ببساطة ليس نسخة مكبّرة.

للمادة والمهمة أهمية أيضًا. فقد تتساوى عارضة مجوفة وأخرى مصمتة في أبعادهما الخارجية، مع اختلاف وزنيهما. ويختلف عمل هيكل يحمل كتلته وحدها عن عمل هيكل يحمل أيضًا سقفًا أو حمولة أو أشخاصًا. كما تختلف متطلبات سفينة يسندها الماء عن متطلبات ثديي يقف على اليابسة. وتوضح هذه الفروق سبب استحالة تصميم بدن Yamato وأطراف حيوان عملاق بالمخطط نفسه، حتى مع انطباق علاقة القياس الهندسية ذاتها عليهما.

يفيد القانون لأنه يوجّه المهندسين وعلماء الأحياء إلى السؤال الذي يخفيه التكبير البسيط: أي جزء يحمل الحمل، وكيف يتغير ذلك الجزء كلما كبر الجسم كله؟ في المبنى، قد يتضمن الجواب زيادة عمق العوارض أو إضافة دعامات أو أعمدة. وفي الحيوان، يكمن الجواب في الشكل والترتيب المشتركين للبنى التي تسند جسمه. تكشف الهندسة الضغط، ويبيّن التصميم المحدد كيفية الاستجابة له.

اختبار القياس لتصميم جديد

إذا كنت تصمم مضخة أو عارضة سقف أو نموذجًا لحيوان، فابدأ بتحديد الأجزاء التي تحمل الوزن. ثم انظر إلى مقاطعها العرضية واسأل كيف ستتغير مساحاتها إذا كبر التصميم ككل. وفكّر على نحو منفصل في كيفية تغيّر الحجم، والوزن إذا ظلت الكثافة ثابتة. إن الفصل بين هذين السؤالين يمنعك من اعتبار العارضة الأطول أو النموذج الأعلى مقياسًا كاملًا للمهمة التي يتعين على دعاماتهما إنجازها.

بعد ذلك، افحص مسار انتقال الحمل. فقد تحتاج العارضة إلى مزيد من العمق، أو المبنى إلى عمود إضافي، أو الجسم الكبير إلى توزيع مختلف للدعم. والفكرة المفيدة ليست تمديد كل جزء في الرسم بالمقدار نفسه، بل النظر إلى شكل عناصر الدعم ومقارنته بالوزن الذي يتعين عليها حمله. فإذا كان على عارضة سقف أن تمتد عبر قاعة أوسع، فهل ستزيد عمقها، أم تضيف عمودًا أسفلها، أم تغيّر المادة قبل أن يضغط السقف عليها؟