Eratosthenes bir çubukla Dünya'yı nasıl ölçtü?

Eratosthenes, iki Mısır kenti olan İskenderiye ve Syene'deki öğle vakti gölgelerini karşılaştırarak Dünya'nın çevresini 250,000 stadia olarak tahmin etti (yeni sekmede açılır). Gölgeler arasındaki açı farkını, yaklaşık 7.2 dereceyi, bir çemberin ellide biri olarak kabul etti ve kentler arasındaki bildirilen mesafeyi 50 ile çarptı.

İşin püf noktası geometriydi: Mısır'a ulaşan güneş ışınları birbirine paralel kabul edilebilirken, dikey bir çubuk Dünya'nın merkezine doğru uzanır. Bu sayede İskenderiye'deki gölgenin gösterdiği açı, kentler arasındaki açının Dünya'nın merkezinden görülen ölçüsüne eşit olur.

İki kent, şaşırtıcı bir fark

Eratosthenes, Helenistik dönemde, 2,200 yıldan daha uzun süre önce (yeni sekmede açılır) İskenderiye'de çalışıyordu. Karşılaştırmada, Akdeniz kıyısındaki liman kenti ile günümüzün güney Mısır'ında, Asvan yakınlarındaki Syene eşleştirildi. Mısır'ın coğrafyası hesaplama için gerekli uzun mesafeyi sağlıyordu: kentler Nil boyunca birbirinden uzakta, kabaca kuzey-güney doğrultusunda yer alıyordu.

Yaygın anlatıma göre gözlem, yaz gündönümünde öğle vakti yapıldı. Syene'de Güneş'in derin bir kuyuya tam tepeden vurduğu ve dikey bir cismin gölge bırakmadığı söyleniyordu. Aynı anda İskenderiye'de dikey bir çubuk gölge oluşturuyordu. Smithsonian'ın Eratosthenes'in ölçümüne dair anlatımı (yeni sekmede açılır), bu karşıtlığı ve hesaplamada kullanılan açıyı açıklıyor.

Bu hikâye, Eratosthenes'in günümüze ulaşmış bir kaydından (yeni sekmede açılır) değil, daha sonraki dönemlerde yaşamış Cleomedes'ten aktarılır. Dolayısıyla bu gözlem, bir laboratuvar defterindeki kayıt değil, ikinci elden bir kanıttır. Yine de aktarılan anlatı, fikri açıkça ortaya koyar: Yerel bir gölge, birbirinden uzak yerlerde zeminin yönünün ne kadar değiştiğini gösterebilir.

Bir gölge Dünya'nın merkez açısını nasıl gösterir?

Dikey bir çubuk ve gölgesinin uzunluğu, dik açılı bir üçgenin oranlarını belirler; güneş ışığının eğimi de kalan kenarı verir. Bu üçgenden çubukla Güneş ışınları arasındaki açı hesaplanabilir. Çubuğun Mısır'ın bir ucundan öbür ucuna uzanması gerekmiyordu. Görevi, İskenderiye'deki yerel düşeyi göstermekteydi.

Syene'de Güneş'in tepede olduğu yönündeki anlatım, güneş ışığının yerel düşey doğrultusunda ilerlediği anlamına geliyordu. İskenderiye'de ise dikey çubuk, gölgesinin gösterdiği açı kadar gelen ışınlardan sapıyordu. Güneş ışınları Mısır boyunca neredeyse paralel geldiğinden, iki kentin düşey doğrultuları arasındaki fark, Dünya'nın merkezinden bakıldığında bu doğrultular arasındaki açıya (yeni sekmede açılır) eşittir. Böylece çubuğun gölgesi, gezegenin eğrisinin bir bölümüne karşılık gelen yerel bir açıyı ölçer.

Zamanlama önemlidir. Yerel öğle vakti, Güneş'in yerel kuzey-güney meridyenini geçtiği andır; bu nedenle gölge, kentler arasındaki güzergâhla ilişkili yöndeki açıyı verir. Yaz gündönümündeki gözlem önemlidir, çünkü anlatıma göre Güneş o sırada Syene'de tam tepededir. Bu referans noktası olmasaydı, hesaplamada Syene'deki Güneş açısının da hesaba katılması gerekirdi.

Tam bir çember 360 derece ölçüsündedir. Bildirilen 7.2 derecelik açı, bu dönüşün ellide biridir. Syene ile İskenderiye arasındaki güzergâh Dünya'nın eğrisinin ellide birini temsil ediyorsa, çevre uzunluğunu tahmin etmek için bu mesafe 50 ile çarpılabilir. Smithsonian'ın açıklaması, hesaplamadaki bu bir-elli çember adımını ortaya koyuyor.

Kentler arasındaki mesafe nasıl ölçeklendirilir?

Hesaplamanın diğer bileşeni, Syene ile İskenderiye arasındaki bildirilen mesafeydi: 5,000 stadia. 5,000 stadia'yı 50 ile çarpmak, Dünya'nın çevresi için 250,000 stadia sonucunu verir. Carnegie Enstitüsü'nün açıklaması (yeni sekmede açılır), Eratosthenes'in ölçülen mesafeyi gölge açısıyla nasıl birleştirdiğini anlatıyor. Bütün gezegenin çevresini dolaşmaya çalışmak yerine, ölçeği büyütme işini bu çarpma yaptı.

Kentler arasındaki mesafenin günümüzdeki yaklaşık karşılığı 800 km'dir. Bu, temel alınan mesafeyi zihinde canlandırmaya yardımcı olur; ancak hesaplamanın kendisinde stadia ve bir çarpan kullanılmıştır. Grönland'ın doğu-batı yönündeki en büyük genişliği 1,050 km (652 mi), Victoria Gölü'nün en büyük genişliği ise 240 km'dir (149 mi). Mısır'daki mesafe, bu bilindik iki ölçünün arasındadır.

Stadion ölçüsü yanıtı neden değiştirir?

Hesaplama, uzunluğu her yerde sabit olmayan eski bir birim olan stadia cinsinden sonuç verir. Tarihçiler, Eratosthenes'in hangi stadion'u kullandığını kesin olarak belirleyemiyor. İyimser bir kabulle bir stadion yaklaşık 157.5 m (yeni sekmede açılır) uzunluğundaydı. Bu uzunlukla 250,000 stadia, yaklaşık 39,375 km'ye karşılık gelir.

Dünya'nın çevresi yaklaşık 40,000 km'dir (yeni sekmede açılır); dolayısıyla bu dönüşüm Eratosthenes'in sonucunu birkaç yüzde puanlık farkla doğruya yaklaştırır. Ancak bu yakınlık, seçilen stadion ölçüsüne bağlıdır. Stadia sayısını sabit tutup daha kısa bir birim seçerseniz kilometre cinsinden tahmin küçülür; daha uzun bir birim seçerseniz büyür. Gölge geometrisi açık olsa da bunu modern birimlere dönüştürmek belirsizliğini korur.

Union University'nin tahmin üzerine değerlendirmesi (yeni sekmede açılır), öne sürülen stadion uzunluklarının sonucu nasıl etkilediğini açıklıyor. Modern ölçümlerde de birimin belirtilmesi ve uç noktaların açıkça tanımlanması gerekir; büyüklük ölçümlerinin nasıl tanımlandığının ardındaki ilke budur.

Tahmin bize neleri gösterir, neleri gösteremez?

Bildirilen geometri, İskenderiye ile Syene arasındaki güzergâhın kuzey-güney yönündeki bir yayı izlediğini varsayar. Kentler bu doğrultuda kusursuz biçimde hizalı değildir — İskenderiye, Syene'nin tam kuzeyinde değil, birkaç boylam derecesi batısındadır — bu nedenle yol mesafesi bir meridyen boyunca olan mesafeyle (yeni sekmede açılır) tam olarak örtüşmez. Belirsiz stadion ölçüsüyle birlikte bu ayrıntılar, antik sonucu modern çevre ölçümüyle ne kadar hassas karşılaştırabileceğimizi sınırlar.

Yine de yöntemin temel hamlesi, aktarılan sayılarda açıkça görülür. Yaklaşık 7.2 derecelik gölge açısı bir çemberin ellide birini gösteriyordu; 5,000 stadialık güzergâh 50 ile çarpılınca 250,000 stadialık bir çevre elde ediliyordu. Çubuk İskenderiye'de kaldı; ancak gösterdiği açı, Mısır'da ölçülen bir mesafenin bütün Dünya'nın eğrisini temsil etmesini sağladı.