Wie maß Eratosthenes die Erde mit einem Stock?

Eratosthenes schätzte den Erdumfang auf 250,000 Stadien (öffnet sich in einem neuen Tab), indem er die Mittagsschatten in Alexandria und Syene, zwei ägyptischen Städten, verglich. Er betrachtete den Unterschied zwischen den Schattenwinkeln von etwa 7.2 Grad als ein Fünfzigstel eines Kreises und multiplizierte dann die überlieferte Entfernung zwischen den Städten mit 50.

Entscheidend war die Geometrie: Sonnenlicht, das Ägypten erreicht, lässt sich als parallel betrachten, während ein senkrechter Stock auf den Erdmittelpunkt weist. Dadurch entspricht der Winkel, den ein Schatten in Alexandria anzeigt, dem Winkel zwischen den Städten, vom Erdmittelpunkt aus gesehen.

Zwei Städte, ein überraschender Unterschied

Eratosthenes arbeitete in Alexandria während der hellenistischen Zeit, vor mehr als 2,200 Jahren (öffnet sich in einem neuen Tab). Für den Vergleich wurden die Mittelmeerhafenstadt und Syene herangezogen, das nahe dem heutigen Assuan im Süden Ägyptens liegt. Ägyptens Geografie bot eine lange Messstrecke: Die Städte liegen weit voneinander entfernt am Nil, grob in Nord-Süd-Richtung.

Der bekannten Überlieferung zufolge fand die Beobachtung am Mittag der Sommersonnenwende statt. In Syene soll die Sonne senkrecht in einen tiefen Brunnen geschienen haben, sodass ein senkrechter Gegenstand keinen Schatten warf. Zur selben Zeit warf ein senkrechter Stock in Alexandria einen Schatten. Der Bericht des Smithsonian über Eratosthenes’ Messung (öffnet sich in einem neuen Tab) beschreibt diesen Unterschied und den Winkel, der für die Berechnung verwendet wurde.

Die Geschichte ist durch den späteren Schriftsteller Kleomedes überliefert, nicht durch eine erhaltene Aufzeichnung von Eratosthenes (öffnet sich in einem neuen Tab). Die Beobachtung ist also ein Bericht aus zweiter Hand und kein Labortagebuch. Dennoch wird die Idee klar beschrieben: Ein Schatten vor Ort kann zeigen, wie stark sich die Ausrichtung des Bodens zwischen weit voneinander entfernten Orten verändert.

Wie ein Schatten den Winkel am Erdmittelpunkt verrät

Ein senkrechter Stock und die Länge seines Schattens bestimmen die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks; die Neigung des Sonnenlichts liefert die fehlende Linie. Aus dem Dreieck lässt sich der Winkel zwischen dem Stock und den Sonnenstrahlen ableiten. Der Stock musste sich nicht quer durch Ägypten erstrecken. Seine Aufgabe war es, die örtliche Senkrechte in Alexandria zu markieren.

Die überlieferte Beschreibung, die Sonne stehe in Syene senkrecht über dem Ort, bedeutet, dass das Sonnenlicht der örtlichen Senkrechten folgte. In Alexandria wich der senkrechte Stock um den Winkel, den sein Schatten erkennen ließ, von den einfallenden Strahlen ab. Da das Sonnenlicht Ägypten in nahezu parallelen Strahlen erreicht, entspricht der Unterschied zwischen den Senkrechten der beiden Städte dem Winkel zwischen ihren Richtungen vom Erdmittelpunkt aus (öffnet sich in einem neuen Tab). Der Schatten des Stocks misst somit einen örtlichen Winkel, der einem Abschnitt der Erdkrümmung entspricht.

Der Zeitpunkt ist wichtig. Der lokale Mittag ist der Moment, in dem die Sonne den örtlichen Nord-Süd-Meridian überquert. Ihr Schatten zeigt daher den Winkel in der Richtung, die für die Strecke zwischen den Städten relevant ist. Auch die Beobachtung zur Sommersonnenwende ist wichtig, weil der Überlieferung zufolge die Sonne zu diesem Zeitpunkt in Syene direkt im Zenit stand. Ohne diesen Bezugspunkt müsste die Berechnung auch den Sonnenwinkel in Syene berücksichtigen.

Ein ganzer Kreis hat 360 Grad. Der überlieferte Winkel von 7.2 Grad ist ein Fünfzigstel dieser Drehung. Wenn die Strecke zwischen Syene und Alexandria einem Fünfzigstel der Erdkrümmung entspricht, lässt sich ihre Länge mit 50 multiplizieren, um den Erdumfang zu schätzen. Die Beschreibung des Smithsonian erläutert diesen Schritt mit dem Fünfzigstel eines Kreises.

Wie die Entfernung zwischen den Städten hochgerechnet wird

Der andere Bestandteil war die überlieferte Entfernung von Syene nach Alexandria: 5,000 Stadien. Multipliziert man 5,000 Stadien mit 50, ergibt sich für den Erdumfang ein Wert von 250,000 Stadien. Die Erklärung der Carnegie Institution (öffnet sich in einem neuen Tab) beschreibt, wie Eratosthenes die gemessene Entfernung mit dem Schattenwinkel kombinierte. Die Hochrechnung gelang durch Multiplikation – nicht durch den Versuch, den ganzen Planeten zu vermessen.

Eine grobe moderne Umrechnung der Entfernung zwischen den Städten ergibt etwa 800 km. Das hilft, sich die Messstrecke vorzustellen, auch wenn die Berechnung selbst Stadien und einen Multiplikator verwendete. Grönlands größte Ost-West-Ausdehnung beträgt 1,050 km (652 mi), während der Viktoriasee an seiner breitesten Stelle 240 km (149 mi) misst. Die Entfernung in Ägypten liegt zwischen diesen vertrauten Größen.

Warum das Stadion das Ergebnis verändert

Die Berechnung ergibt einen Wert in Stadien, einer antiken Maßeinheit, deren Länge nicht überall gleich war. Historiker können nicht mit Sicherheit bestimmen, welches Stadion Eratosthenes verwendete. Bei einer großzügigen Annahme war ein Stadion etwa 157.5 m (öffnet sich in einem neuen Tab) lang. Bei dieser Länge entsprechen 250,000 Stadien etwa 39,375 km.

Der Erdumfang beträgt ungefähr 40,000 km (öffnet sich in einem neuen Tab); bei dieser Umrechnung liegt Eratosthenes also nur wenige Prozent daneben. Die gute Übereinstimmung hängt jedoch davon ab, welche Länge man für ein Stadion ansetzt. Bleibt die Zahl der Stadien gleich und wählt man eine kürzere Einheit, fällt der Wert in Kilometern kleiner aus; wählt man eine längere Einheit, wird er größer. Die Geometrie der Schatten kann eindeutig sein, während die Umrechnung in moderne Einheiten unsicher bleibt.

Die Erörterung der Schätzung durch die Union University (öffnet sich in einem neuen Tab) erklärt, wie sich verschiedene angenommene Stadionlängen auf das Ergebnis auswirken. Auch moderne Messungen benötigen eine klar angegebene Einheit und eindeutige Endpunkte – das ist das Prinzip hinter der Definition von Größenmessungen.

Was die Schätzung zeigt – und was nicht

Die überlieferte Geometrie setzt voraus, dass die Strecke zwischen Alexandria und Syene einem Nord-Süd-Bogen folgt. Die Städte liegen nicht exakt auf einer solchen Linie – Alexandria liegt tatsächlich ein paar Längengrade westlich von Syene und nicht genau nördlich davon –, sodass eine Reisedistanz nicht genau der Entfernung entlang eines Meridians (öffnet sich in einem neuen Tab) entspricht. Zusammen mit dem unsicheren Stadion schränkt das ein, wie genau sich das antike Ergebnis mit einem modernen Erdumfang vergleichen lässt.

Dennoch wird der wesentliche Schritt der Methode anhand der überlieferten Zahlen deutlich. Ein Schattenwinkel von etwa 7.2 Grad markierte ein Fünfzigstel eines Kreises; die Strecke von 5,000 Stadien ergab, mit 50 multipliziert, einen Erdumfang von 250,000 Stadien. Der Stock blieb in Alexandria, doch sein Winkel machte es möglich, eine vermessene Strecke in Ägypten stellvertretend für die Krümmung der ganzen Erde zu nehmen.