Comment Ératosthène a-t-il mesuré la Terre avec un bâton ?

Ératosthène a estimé la circonférence de la Terre à 250,000 stades (s’ouvre dans un nouvel onglet) en comparant les ombres de midi à Alexandrie et à Syène, deux villes égyptiennes. Il a considéré la différence entre leurs angles d’ombre, d’environ 7.2 degrés, comme un cinquantième de cercle, puis a multiplié par 50 la distance rapportée entre les deux villes.

La clé était la géométrie : on peut considérer que les rayons du Soleil qui atteignent l’Égypte sont parallèles, tandis qu’un bâton vertical pointe vers le centre de la Terre. L’angle indiqué par une ombre à Alexandrie correspond donc à l’angle entre les deux villes vu depuis le centre de la Terre.

Deux villes, une différence surprenante

Ératosthène travaillait à Alexandrie pendant la période hellénistique, il y a plus de 2,200 ans (s’ouvre dans un nouvel onglet). La comparaison associait le port méditerranéen à Syène, près de l’actuelle Assouan, dans le sud de l’Égypte. La géographie de l’Égypte fournissait une longue base de mesure : les villes sont très éloignées l’une de l’autre le long du Nil, et se trouvent globalement au nord et au sud l’une de l’autre.

Selon le récit bien connu, l’observation aurait eu lieu à midi, le jour du solstice d’été. À Syène, le Soleil aurait éclairé le fond d’un puits profond, sans laisser d’ombre sous un objet vertical. Au même moment, à Alexandrie, un bâton vertical projetait une ombre. Le récit du Smithsonian sur la mesure d’Ératosthène (s’ouvre dans un nouvel onglet) décrit ce contraste et l’angle utilisé dans le calcul.

Cette histoire nous est transmise par l’auteur postérieur Cléomède, et non par un document d’Ératosthène qui nous serait parvenu (s’ouvre dans un nouvel onglet). Il s’agit donc d’un témoignage indirect, et non d’un carnet de laboratoire. Le récit expose néanmoins clairement l’idée : une ombre locale peut révéler à quel point l’orientation du sol change entre des lieux éloignés.

Comment une ombre révèle l’angle au centre de la Terre

Un bâton vertical et la longueur de son ombre définissent les proportions d’un triangle rectangle ; l’inclinaison des rayons du Soleil fournit le troisième côté. À partir du triangle, on peut déduire l’angle entre le bâton et les rayons du Soleil. Le bâton n’avait pas besoin de traverser l’Égypte. Il servait à indiquer la verticale locale à Alexandrie.

À Syène, selon le récit, le Soleil au zénith signifiait que ses rayons suivaient la verticale locale. À Alexandrie, le bâton vertical s’écartait des rayons incidents d’un angle révélé par son ombre. Puisque les rayons du Soleil arrivent presque parallèlement à travers l’Égypte, la différence entre les directions verticales des deux villes correspond à l’angle entre leurs directions depuis le centre de la Terre (s’ouvre dans un nouvel onglet). L’ombre du bâton mesure donc un angle local qui correspond à une portion de la courbure de la planète.

Le moment de l’observation compte. Le midi solaire local est le moment où le Soleil passe sur le méridien nord-sud local ; son ombre indique donc l’angle pertinent pour le trajet entre les deux villes. L’observation au solstice d’été est importante parce que, selon le récit, le Soleil se trouvait alors directement à la verticale de Syène. Sans ce point de référence, le calcul aurait également dû tenir compte de l’angle du Soleil à Syène.

Un cercle complet mesure 360 degrés. L’angle rapporté de 7.2 degrés correspond à un cinquantième de tour. Si le trajet entre Syène et Alexandrie représente un cinquantième de la courbure de la Terre, on peut multiplier sa longueur par 50 pour estimer la circonférence. La description du Smithsonian présente cette étape du calcul, où l’on considère un cinquantième de cercle.

Comment la distance entre les villes est extrapolée

L’autre élément était la distance rapportée entre Syène et Alexandrie : 5,000 stades. En multipliant 5,000 stades par 50, on obtient une circonférence terrestre de 250,000 stades. L’explication de la Carnegie Institution (s’ouvre dans un nouvel onglet) décrit comment Ératosthène a combiné la distance mesurée et l’angle de l’ombre. C’est la multiplication, et non une tentative de parcourir toute la planète, qui a permis de changer d’échelle.

Une conversion approximative en unités modernes donne environ 800 km pour la distance entre les villes. Cela aide à se représenter la longueur de la base de mesure, même si le calcul lui-même utilisait des stades et un multiplicateur. La largeur maximale est-ouest du Groenland est de 1,050 km (652 mi), tandis que la largeur maximale du lac Victoria est de 240 km (149 mi). La distance égyptienne se situe entre ces deux étendues familières.

Pourquoi le stade change le résultat

Le calcul donne un résultat en stades, une unité ancienne dont la longueur ne variait pas partout de la même façon. Les historiens ne peuvent pas déterminer avec certitude quel stade Ératosthène a utilisé. Selon une estimation généreuse, un stade mesurait environ 157.5 m (s’ouvre dans un nouvel onglet). Avec cette longueur, 250,000 stades équivalent à environ 39,375 km.

La circonférence de la Terre est d’environ 40,000 km (s’ouvre dans un nouvel onglet) ; cette conversion place donc le résultat d’Ératosthène à quelques pour cent près. Mais cette bonne concordance dépend du stade choisi. En gardant le nombre de stades constant et en choisissant une unité plus courte, l’estimation en kilomètres diminue ; en choisissant une unité plus longue, elle augmente. La géométrie des ombres peut être claire, alors que sa conversion en unités modernes reste incertaine.

La présentation de l’estimation par Union University (s’ouvre dans un nouvel onglet) explique comment les différentes longueurs proposées pour le stade influent sur le résultat. Les mesures modernes nécessitent elles aussi une unité définie et des extrémités clairement déterminées, un principe qui sous-tend la définition des mesures de taille.

Ce que l’estimation permet — ou non — de montrer

La géométrie rapportée suppose que le trajet entre Alexandrie et Syène suit un arc nord-sud. Les villes ne sont pas parfaitement alignées ainsi — Alexandrie se trouve en réalité à quelques degrés de longitude à l’ouest de Syène, et non exactement au nord — ; une distance parcourue ne correspond donc pas exactement à la distance le long d’un méridien (s’ouvre dans un nouvel onglet). Avec l’incertitude sur la longueur du stade, ces détails limitent la précision avec laquelle on peut comparer le résultat antique à une circonférence moderne.

L’idée essentielle de la méthode ressort néanmoins des chiffres rapportés. Un angle d’ombre d’environ 7.2 degrés correspondait à un cinquantième de cercle ; le trajet de 5,000 stades, multiplié par 50, donnait une circonférence de 250,000 stades. Le bâton restait à Alexandrie, mais son angle permettait de faire représenter la courbure de toute la Terre par une portion mesurée de l’Égypte.