كيف قاس إراتوستينس الأرض بعصا؟

قدّر إراتوستينس محيط الأرض بنحو 250,000 ستاديون (تفتح في علامة تبويب جديدة) بمقارنة ظلال الظهيرة في الإسكندرية وسِيِينه، وهما مدينتان مصريتان. واعتبر الفرق بين زاويتي الظل، البالغ نحو 7.2 درجة، واحدًا من خمسين من الدائرة، ثم ضرب المسافة المنقولة بين المدينتين في 50.

كان السر في الهندسة: يمكن اعتبار أشعة الشمس التي تصل إلى مصر متوازية، في حين تشير العصا العمودية نحو مركز الأرض. وهذا يجعل الزاوية التي يظهرها الظل في الإسكندرية مساوية للزاوية بين المدينتين كما تُرى من مركز الأرض.

مدينتان وفارق مدهش

عمل إراتوستينس في الإسكندرية خلال العصر الهلنستي، قبل أكثر من 2,200 عام (تفتح في علامة تبويب جديدة). وقارن بين ميناء الإسكندرية على البحر المتوسط وسِيِينه، القريبة من أسوان الحالية في جنوب مصر. وقد وفّرت جغرافية مصر خط الأساس الطويل للحساب: فالمدينتان متباعدتان على امتداد النيل، وتقعان عمومًا إحداهما شمال الأخرى.

تضع الرواية الشائعة الرصد عند الظهيرة في يوم الانقلاب الصيفي. ويُقال إن الشمس في سِيِينه كانت تسطع عموديًا في بئر عميقة، فلا يلقي جسم عمودي أي ظل. وفي الوقت نفسه، كانت عصا عمودية في الإسكندرية تلقي ظلًا. ويصف عرض سميثسونيان لقياس إراتوستينس (تفتح في علامة تبويب جديدة) هذا التباين والزاوية المستخدمة في الحساب.

وصلتنا القصة عبر الكاتب اللاحق كليوميدس، لا من خلال سجل باقٍ كتبه إراتوستينس (تفتح في علامة تبويب جديدة). لذلك، فالرصد دليل منقول عن مصدر آخر، لا دفتر ملاحظات مختبر. ومع ذلك، يقدّم التقرير شرحًا واضحًا للفكرة: يمكن لظل محلي أن يكشف مقدار تغيّر اتجاه سطح الأرض بين أماكن متباعدة.

كيف يكشف الظل زاوية مركز الأرض

تحدد العصا العمودية وطول ظلها أبعاد مثلث قائم الزاوية، فيما يوفّر ميل أشعة الشمس الضلع المتبقي. ويمكن استنتاج الزاوية بين العصا وأشعة الشمس من المثلث. ولم تكن هناك حاجة إلى أن تمتد العصا عبر مصر؛ فمهمتها كانت تحديد الاتجاه الرأسي المحلي في الإسكندرية.

في سِيِينه، عنى وجود الشمس عموديًا، وفقًا لما ورد، أن أشعة الشمس كانت تسير في اتجاه الشاقول المحلي. أما في الإسكندرية، فكانت العصا العمودية تميل عن الأشعة الساقطة بزاوية يكشفها ظلها. وبما أن أشعة الشمس تصل إلى مصر شبه متوازية، فإن اختلاف اتجاهي الشاقول في المدينتين يطابق الزاوية بين اتجاهيهما انطلاقًا من مركز الأرض (تفتح في علامة تبويب جديدة). وهكذا يقيس ظل العصا زاوية محلية تمثل جزءًا من انحناء الكوكب.

للتوقيت أهميته. فالظهيرة المحلية هي الوقت الذي تعبر فيه الشمس خط الزوال المحلي الممتد من الشمال إلى الجنوب، ولذلك يكشف ظلها الزاوية في الاتجاه المرتبط بالمسار بين المدينتين. كما أن رصد الانقلاب الصيفي مهم لأن الرواية تضع الشمس فوق سِيِينه مباشرة في ذلك الوقت. ومن دون هذه النقطة المرجعية، لوجب أن يأخذ الحساب زاوية الشمس في سِيِينه أيضًا في الحسبان.

قياس الدائرة الكاملة هو 360 درجة. والزاوية المنقولة، 7.2 درجة، تساوي واحدًا من خمسين من هذه الدورة. فإذا كان المسار بين سِيِينه والإسكندرية يمثل واحدًا من خمسين من انحناء الأرض، أمكن ضرب طوله في 50 لتقدير محيطها. ويوضح وصف سميثسونيان هذه الخطوة، أي اعتبار الزاوية واحدًا من خمسين من الدائرة، في الحساب.

كيف تُوسَّع المسافة بين المدينتين

المكوّن الآخر هو المسافة المنقولة بين سِيِينه والإسكندرية: 5,000 ستاديون. وضرب 5,000 ستاديون في 50 يعطي 250,000 ستاديون لمحيط الأرض. ويشرح معهد كارنيغي كيفية جمع إراتوستينس بين المسافة المقاسة وزاوية الظل (تفتح في علامة تبويب جديدة). فالضرب، لا محاولة تتبّع الكوكب بأكمله، هو ما أتاح توسيع القياس.

يبلغ التقدير التقريبي الحديث للمسافة بين المدينتين نحو 800 km. ويساعد ذلك على تخيّل خط الأساس، مع أن الحساب نفسه استخدم الستاديونات وعامل الضرب. ويبلغ أقصى عرض لجرينلاند من الشرق إلى الغرب 1,050 km (652 mi)، في حين يبلغ أقصى عرض لبحيرة فيكتوريا 240 km (149 mi). وتقع المسافة المصرية بين هذين الامتدادين المألوفين.

لماذا تغيّر وحدة الستاديون النتيجة

تعطي العملية الحسابية نتيجة بوحدة الستاديون، وهي وحدة قديمة لم يكن طولها موحّدًا في كل مكان. ولا يستطيع المؤرخون تحديد أي ستاديون استخدمه إراتوستينس على وجه اليقين. ووفق تقدير سخي، كان طول الستاديون نحو 157.5 m (تفتح في علامة تبويب جديدة). وبهذا الطول، يعادل 250,000 ستاديون نحو 39,375 km.

يبلغ محيط الأرض نحو 40,000 km (تفتح في علامة تبويب جديدة)، ولذلك يضع هذا التحويل تقدير إراتوستينس على بُعد بضعة في المئة من القيمة الحديثة. لكن هذا التقارب يعتمد على طول الستاديون المختار. إذا أبقينا عدد الستاديونات ثابتًا واخترنا وحدة أقصر، انخفض التقدير بالكيلومترات؛ وإذا اخترنا وحدة أطول، ارتفع. قد تكون هندسة الظل واضحة، بينما يظل تحويلها إلى وحدات حديثة غير مؤكد.

يشرح عرض جامعة يونيون للتقدير (تفتح في علامة تبويب جديدة) كيف تؤثر أطوال الستاديون المقترحة في النتيجة. وتتطلب القياسات الحديثة أيضًا تحديد الوحدة والنقاط الطرفية بوضوح، وهو المبدأ الذي تقوم عليه طريقة تعريف قياسات الحجم.

ما الذي يوضحه التقدير وما الذي لا يوضحه

تفترض الهندسة الواردة في الرواية أن المسار بين الإسكندرية وسِيِينه يتبع قوسًا من الشمال إلى الجنوب. لكن المدينتين لا تقعان على هذا الخط تمامًا؛ فالإسكندرية تقع في الواقع إلى الغرب من سِيِينه ببضع درجات من خطوط الطول، لا إلى الشمال منها مباشرة. لذلك لا تطابق مسافة السفر تمامًا المسافة على خط الزوال (تفتح في علامة تبويب جديدة). وإلى جانب عدم اليقين بشأن طول الستاديون، تحد هذه التفاصيل من دقة مقارنة النتيجة القديمة بمحيط الأرض وفق القياسات الحديثة.

ومع ذلك، تظل الخطوة الأساسية في الطريقة واضحة في الأرقام الواردة. فقد مثّلت زاوية ظل تبلغ نحو 7.2 درجة واحدًا من خمسين من الدائرة؛ وأصبح المسار البالغ 5,000 ستاديون، بعد ضربه في 50، محيطًا قدره 250,000 ستاديون. بقيت العصا في الإسكندرية، لكن زاويتها أتاحت لامتداد مقاس من أرض مصر أن يمثّل انحناء الأرض كلها.