Bagaimana Eratosthenes mengukur Bumi dengan tongkat?

Eratosthenes memperkirakan keliling Bumi sebesar 250.000 stadia (dibuka di tab baru) dengan membandingkan bayangan tengah hari di Aleksandria dan Syene, dua kota di Mesir. Ia menganggap selisih sudut bayangan, sekitar 7.2 derajat, sebagai seperlima puluh lingkaran, lalu mengalikan jarak yang dilaporkan antara kedua kota itu dengan 50.

Kuncinya adalah geometri: sinar matahari yang mencapai Mesir dapat dianggap sejajar, sedangkan tongkat vertikal mengarah ke pusat Bumi. Karena itu, sudut yang ditunjukkan bayangan di Aleksandria sama dengan sudut antara kedua kota jika dilihat dari pusat Bumi.

Dua kota, satu perbedaan yang mengejutkan

Eratosthenes berkarya di Aleksandria pada periode Helenistik, lebih dari 2.200 tahun yang lalu (dibuka di tab baru). Perbandingan itu memasangkan kota pelabuhan di Laut Tengah dengan Syene, dekat Aswan modern di Mesir selatan. Geografi Mesir menyediakan garis dasar yang panjang untuk perhitungan tersebut: kedua kota terpisah jauh di sepanjang Sungai Nil, dan secara umum terletak di utara dan selatan satu sama lain.

Kisah yang umum diceritakan menempatkan pengamatan itu pada tengah hari saat titik balik musim panas. Di Syene, konon Matahari bersinar lurus ke dasar sumur yang dalam, sehingga benda vertikal tidak menghasilkan bayangan. Pada saat yang sama di Aleksandria, sebuah tongkat vertikal menghasilkan bayangan. Uraian Smithsonian tentang pengukuran Eratosthenes (dibuka di tab baru) menjelaskan perbedaan ini dan sudut yang digunakan dalam perhitungan.

Kisah ini berasal dari penulis yang hidup belakangan, Cleomedes, bukan dari catatan Eratosthenes yang masih bertahan (dibuka di tab baru). Jadi, pengamatan tersebut merupakan bukti dari sumber kedua, bukan catatan laboratorium. Meski demikian, laporan itu menjelaskan gagasannya dengan gamblang: bayangan setempat dapat menunjukkan seberapa besar arah permukaan tanah berubah antara tempat-tempat yang berjauhan.

Bagaimana bayangan mengungkap sudut pusat Bumi

Tongkat vertikal dan panjang bayangannya menentukan perbandingan sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku; kemiringan sinar matahari menjadi garis yang tersisa. Dari segitiga itu, sudut antara tongkat dan sinar Matahari dapat diketahui. Tongkat tersebut tidak perlu membentang melintasi Mesir. Fungsinya adalah menandai arah vertikal setempat di Aleksandria.

Di Syene, posisi Matahari yang dilaporkan tepat di atas kepala berarti sinar matahari mengikuti arah vertikal setempat. Di Aleksandria, tongkat vertikal tampak miring menjauhi sinar yang datang sebesar sudut yang ditunjukkan bayangannya. Karena sinar matahari tiba dalam arah yang nyaris sejajar di seluruh Mesir, perbedaan arah vertikal di kedua kota sama dengan sudut antara arah keduanya jika dilihat dari pusat Bumi (dibuka di tab baru). Jadi, bayangan tongkat mengukur sudut setempat yang bersesuaian dengan bagian lengkung planet.

Waktu pengamatan juga penting. Tengah hari setempat adalah saat Matahari melintasi meridian utara-selatan setempat, sehingga bayangannya menunjukkan sudut ke arah yang relevan dengan rute antara kedua kota. Pengamatan saat titik balik musim panas penting karena menurut kisah tersebut, Matahari berada tepat di atas kepala di Syene pada saat itu. Tanpa titik acuan tersebut, perhitungan juga harus memperhitungkan sudut Matahari di Syene.

Satu lingkaran penuh besarnya 360 derajat. Sudut 7.2 derajat yang dilaporkan adalah seperlima puluh putaran itu. Jika rute antara Syene dan Aleksandria mewakili seperlima puluh lengkungan Bumi, panjangnya dapat dikalikan 50 untuk memperkirakan keliling Bumi. Uraian Smithsonian menjelaskan langkah perhitungan berupa seperlima puluh lingkaran ini.

Bagaimana jarak antarkota diperbesar skalanya

Unsur lainnya adalah jarak yang dilaporkan dari Syene ke Aleksandria: 5,000 stadia. Mengalikan 5,000 stadia dengan 50 menghasilkan 250,000 stadia untuk keliling Bumi. Penjelasan Carnegie Institution (dibuka di tab baru) menguraikan bagaimana Eratosthenes menggabungkan jarak yang diukur dengan sudut bayangan. Perkalian itulah—bukan upaya untuk menelusuri seluruh planet—yang memperbesar skalanya.

Perkiraan kasar modern untuk jarak antarkota itu adalah sekitar 800 km. Angka ini membantu kita membayangkan garis dasarnya, meski perhitungan aslinya menggunakan stadia dan pengali. Lebar maksimum Greenland dari timur ke barat adalah 1,050 km (652 mi), sedangkan lebar maksimum Danau Victoria adalah 240 km (149 mi). Jarak di Mesir itu berada di antara dua bentang yang sudah dikenal ini.

Mengapa stadion mengubah hasilnya

Perhitungan itu menghasilkan jawaban dalam stadia, satuan kuno yang panjangnya tidak seragam di semua tempat. Sejarawan tidak dapat memastikan stadion mana yang digunakan Eratosthenes. Menurut perkiraan yang cukup longgar, satu stadion panjangnya sekitar 157.5 m (dibuka di tab baru). Dengan panjang tersebut, 250,000 stadia setara dengan sekitar 39,375 km.

Keliling Bumi sekitar 40,000 km (dibuka di tab baru), sehingga konversi itu menempatkan hasil Eratosthenes dalam selisih beberapa persen. Namun, kecocokan yang dekat ini bergantung pada stadion yang dipilih. Jika jumlah stadia tetap, tetapi satuan yang dipilih lebih pendek, perkiraan dalam kilometer akan mengecil; jika satuannya lebih panjang, hasilnya akan membesar. Geometri bayangannya bisa jelas, sementara konversinya ke satuan modern tetap tidak pasti.

Pembahasan Union University tentang perkiraan tersebut (dibuka di tab baru) menjelaskan bagaimana berbagai usulan panjang stadion memengaruhi hasilnya. Pengukuran modern juga memerlukan satuan yang disebutkan dan titik ujung yang jelas—prinsip di balik cara ukuran ditentukan.

Apa yang bisa dan tidak bisa ditunjukkan oleh perkiraan itu

Geometri yang dilaporkan mengasumsikan rute antara Aleksandria dan Syene mengikuti busur utara-selatan. Kedua kota itu tidak sepenuhnya sejajar dalam arah tersebut—Aleksandria sebenarnya berada beberapa derajat garis bujur di sebelah barat Syene, bukan tepat di utaranya—jadi jarak perjalanan tidak sama persis dengan jarak sepanjang meridian (dibuka di tab baru). Bersama ketidakpastian panjang stadion, hal-hal ini membatasi seberapa tepat hasil kuno tersebut dapat dibandingkan dengan keliling modern.

Meski begitu, langkah utama metode tersebut tampak jelas dalam angka-angka yang dilaporkan. Sudut bayangan sekitar 7.2 derajat menandai seperlima puluh lingkaran; rute sepanjang 5,000 stadia, dikalikan 50, menjadi keliling sebesar 250,000 stadia. Sebuah tongkat tetap berada di Aleksandria, sementara sudutnya membuat bentangan Mesir yang terukur mewakili lengkungan seluruh Bumi.