Come misurò Eratostene la Terra con un bastone?

Eratostene stimò la circonferenza terrestre in 250,000 stadi (si apre in una nuova scheda) confrontando le ombre a mezzogiorno ad Alessandria e a Siene, due città egiziane. Considerò la differenza tra gli angoli delle ombre, pari a circa 7.2 gradi, come un cinquantesimo di cerchio, quindi moltiplicò per 50 la distanza riportata tra le città.

La chiave era la geometria: si può considerare parallela la luce solare che raggiunge l'Egitto, mentre un bastone verticale punta verso il centro della Terra. Per questo, l'angolo indicato da un'ombra ad Alessandria corrisponde all'angolo tra le due città visto dal centro della Terra.

Due città, una differenza sorprendente

Eratostene lavorò ad Alessandria durante il periodo ellenistico, più di 2,200 anni fa (si apre in una nuova scheda). Il confronto era tra il porto mediterraneo e Siene, vicino all'odierna Assuan, nell'Egitto meridionale. La geografia dell'Egitto forniva alla misurazione una lunga base: le città si trovano molto distanti l'una dall'altra lungo il Nilo, grosso modo una a nord e l'altra a sud.

Il racconto più noto colloca l'osservazione a mezzogiorno del solstizio d'estate. A Siene, si diceva che il Sole illuminasse direttamente il fondo di un pozzo profondo, senza proiettare ombre da un oggetto verticale. Nello stesso momento, ad Alessandria un bastone verticale proiettava un'ombra. Il resoconto dello Smithsonian sulla misurazione di Eratostene (si apre in una nuova scheda) descrive questo contrasto e l'angolo usato nel calcolo.

La storia ci è giunta attraverso lo scrittore più tardo Cleomede, non tramite un resoconto di Eratostene giunto fino a noi (si apre in una nuova scheda). Si tratta quindi di una testimonianza indiretta, non di un quaderno di laboratorio. Il resoconto illustra comunque chiaramente l'idea: un'ombra locale può rivelare di quanto cambia la direzione del terreno tra luoghi lontani.

Come un'ombra rivela l'angolo al centro della Terra

Un bastone verticale e la lunghezza della sua ombra definiscono le proporzioni di un triangolo rettangolo; l'inclinazione dei raggi solari fornisce il lato rimanente. Dal triangolo si può dedurre l'angolo tra il bastone e i raggi del Sole. Non occorreva che il bastone attraversasse l'Egitto: il suo compito era indicare la verticale locale ad Alessandria.

A Siene, secondo quanto riportato, il Sole allo zenit faceva sì che la luce solare seguisse la verticale locale. Ad Alessandria, il bastone verticale era inclinato rispetto ai raggi in arrivo di un angolo rivelato dalla sua ombra. Poiché in tutto l'Egitto la luce solare arriva sotto forma di raggi pressoché paralleli, la differenza tra le direzioni verticali delle due città corrisponde all'angolo tra le loro direzioni viste dal centro della Terra (si apre in una nuova scheda). L'ombra del bastone misura quindi un angolo locale che corrisponde a un tratto della curvatura del pianeta.

Il momento dell'osservazione è importante. Il mezzogiorno locale è il momento in cui il Sole attraversa il meridiano locale nord-sud, perciò la sua ombra indica l'angolo nella direzione rilevante per il percorso tra le città. L'osservazione al solstizio d'estate è importante perché il racconto colloca in quel momento il Sole direttamente sopra Siene. Senza questo punto di riferimento, il calcolo avrebbe dovuto tenere conto anche dell'angolo del Sole a Siene.

Un cerchio completo misura 360 gradi. L'angolo riportato di 7.2 gradi è un cinquantesimo di giro. Se il percorso tra Siene e Alessandria rappresenta un cinquantesimo della curvatura terrestre, la sua lunghezza può essere moltiplicata per 50 per stimare la circonferenza. La descrizione dello Smithsonian illustra questo passaggio del calcolo, in cui si considera un cinquantesimo del cerchio.

Come si moltiplica la distanza tra le città

L'altro dato era la distanza riportata tra Siene e Alessandria: 5,000 stadi. Moltiplicando 5,000 stadi per 50 si ottengono 250,000 stadi per la circonferenza terrestre. La spiegazione della Carnegie Institution (si apre in una nuova scheda) descrive come Eratostene combinò la distanza misurata con l'angolo dell'ombra. Fu la moltiplicazione, non il tentativo di percorrere tutto il pianeta, a permettere di estendere la misura.

Una conversione approssimativa moderna della distanza tra le città è circa 800 km. Aiuta a immaginare la lunghezza della base, anche se il calcolo stesso usava gli stadi e un moltiplicatore. La massima larghezza est-ovest della Groenlandia è 1,050 km (652 mi), mentre la larghezza massima del Lago Vittoria è 240 km (149 mi). La distanza egiziana si colloca tra queste due estensioni familiari.

Perché lo stadio cambia il risultato

Il calcolo produce un risultato in stadi, un'antica unità la cui lunghezza non era uguale ovunque. Gli storici non possono stabilire con certezza quale stadio usò Eratostene. Secondo una stima generosa, uno stadio era circa 157.5 m (si apre in una nuova scheda). Con questa lunghezza, 250,000 stadi corrispondono a circa 39,375 km.

La circonferenza terrestre è circa 40,000 km (si apre in una nuova scheda), quindi questa conversione colloca la stima di Eratostene a pochi punti percentuali dal valore attuale. Ma la vicinanza dipende dallo stadio scelto. Mantenendo fisso il numero di stadi e scegliendo un'unità più corta, la stima in chilometri diminuisce; scegliendone una più lunga, aumenta. La geometria delle ombre può essere chiara, mentre la sua conversione in unità moderne resta incerta.

La discussione della Union University sulla stima (si apre in una nuova scheda) spiega come le diverse lunghezze proposte per lo stadio influenzino il risultato. Anche le misurazioni moderne richiedono un'unità dichiarata e punti di riferimento ben definiti: è il principio alla base di come vengono definite le misure delle dimensioni.

Cosa può e cosa non può dimostrare la stima

La geometria riportata presuppone che il percorso tra Alessandria e Siene segua un arco nord-sud. Le città non sono perfettamente allineate in quella direzione: Alessandria si trova in realtà un paio di gradi di longitudine a ovest di Siene, non esattamente a nord. Perciò una distanza di viaggio non corrisponde esattamente alla distanza lungo un meridiano (si apre in una nuova scheda). Questi dettagli, insieme all'incertezza sulla lunghezza dello stadio, limitano la precisione con cui si può confrontare il risultato antico con una circonferenza moderna.

Eppure, il passaggio fondamentale del metodo è evidente nei numeri riportati. Un angolo dell'ombra di circa 7.2 gradi indicava un cinquantesimo di cerchio; il percorso di 5,000 stadi, moltiplicato per 50, diventava una circonferenza di 250,000 stadi. Il bastone rimase ad Alessandria, ma il suo angolo permise di usare un tratto misurato dell'Egitto come rappresentazione della curvatura dell'intera Terra.