Как Эратосфен измерил Землю с помощью палки?

Эратосфен оценил длину окружности Земли в 250,000 стадиев (откроется в новой вкладке), сравнив полуденные тени в двух египетских городах — Александрии и Сиене. Он принял разницу углов теней, около 7.2 градуса, за одну пятидесятую окружности, а затем умножил сообщавшееся расстояние между городами на 50.

В основе расчёта лежала геометрия: солнечные лучи, достигающие Египта, можно считать параллельными, а вертикальная палка направлена к центру Земли. Поэтому угол, который показывает тень в Александрии, совпадает с углом между городами, если смотреть на них из центра Земли.

Два города и неожиданная разница

Эратосфен работал в Александрии в эллинистический период, более 2,200 лет назад (откроется в новой вкладке). Для сравнения он выбрал средиземноморский порт и Сиену, расположенную неподалёку от современного Асуана на юге Египта. География Египта обеспечила расчёту длинную базовую линию: города находятся далеко друг от друга вдоль Нила, примерно к северу и югу один от другого.

Согласно привычному изложению, наблюдение проводили в полдень в день летнего солнцестояния. Говорили, что в Сиене Солнце светило прямо в глубокий колодец, и вертикальные предметы не отбрасывали теней. В это же время в Александрии вертикальная палка отбрасывала тень. В рассказе Смитсоновского института об измерениях Эратосфена (откроется в новой вкладке) описаны этот контраст и угол, использованный в расчёте.

Этот рассказ дошёл до нас от более позднего автора Клеомеда, а не из сохранившихся записей самого Эратосфена (откроется в новой вкладке). Поэтому это свидетельство из вторых рук, а не лабораторный журнал. И всё же в нём ясно изложена сама идея: местная тень может показать, насколько меняется направление поверхности Земли между удалёнными друг от друга местами.

Как тень показывает центральный угол Земли

Вертикальная палка и длина её тени задают пропорции прямоугольного треугольника, а наклон солнечных лучей образует его третью сторону. По этому треугольнику можно определить угол между палкой и лучами Солнца. Палке не нужно было тянуться через весь Египет: её задача состояла в том, чтобы обозначить местную вертикаль в Александрии.

Согласно сообщению, в Сиене Солнце находилось прямо над головой, то есть солнечные лучи совпадали с местной вертикалью. В Александрии вертикальная палка отклонялась от направления падающих лучей на угол, который показывала её тень. Поскольку солнечные лучи, достигающие Египта, почти параллельны, различие между вертикальными направлениями в двух городах соответствует углу между направлениями на эти города из центра Земли (откроется в новой вкладке). Значит, тень палки измеряет местный угол, связанный с участком кривизны планеты.

Время наблюдения имеет значение. Местный полдень — это момент, когда Солнце пересекает местный меридиан, направленный с севера на юг, поэтому тень показывает угол в направлении, важном для маршрута между городами. Важно и наблюдение в день летнего солнцестояния: согласно рассказу, именно тогда Солнце находилось прямо над Сиеной. Без этой точки отсчёта в расчёте пришлось бы учитывать также угол Солнца в Сиене.

Полный круг составляет 360 градусов. Сообщавшийся угол в 7.2 градуса — одна пятидесятая полного оборота. Если маршрут между Сиеной и Александрией соответствует одной пятидесятой дуги Земли, его длину можно умножить на 50, чтобы оценить длину окружности планеты. В описании Смитсоновского института изложен этот шаг расчёта — одна пятидесятая окружности.

Как расстояние между городами масштабировали

Другой составляющей расчёта было сообщавшееся расстояние от Сиены до Александрии — 5,000 стадиев. Умножив 5,000 стадиев на 50, получаем 250,000 стадиев для длины окружности Земли. В объяснении Института Карнеги (откроется в новой вкладке) рассказывается, как Эратосфен объединил измеренное расстояние с углом тени. Масштабирование обеспечило именно умножение, а не попытка обойти всю планету.

Для наглядности расстояние между городами можно приблизительно выразить как 800 km. Так проще представить длину базовой линии, хотя в самом расчёте использовались стадии и множитель. Максимальная ширина Гренландии с востока на запад составляет 1,050 km (652 mi), а максимальная ширина озера Виктория — 240 km (149 mi). Расстояние в Египте находится между этими знакомыми величинами.

Почему результат зависит от длины стадия

Расчёт даёт результат в стадиях — древней единице измерения, длина которой различалась в разных местах. Историки не могут с уверенностью определить, каким именно стадием пользовался Эратосфен. Если принять более длинный вариант, один стадий равен примерно 157.5 m (откроется в новой вкладке). При такой длине 250,000 стадиев составляют примерно 39,375 km.

Длина окружности Земли составляет примерно 40,000 km (откроется в новой вкладке), поэтому при таком переводе результат Эратосфена отличается всего на несколько процентов. Но близкое совпадение зависит от выбранной длины стадия. Если оставить число стадиев прежним, но выбрать более короткую единицу, оценка в километрах уменьшится; если выбрать более длинную — увеличится. Геометрия теней может быть понятной, даже если её перевод в современные единицы остаётся неопределённым.

Обсуждение этой оценки в Университете Юнион (откроется в новой вкладке) объясняет, как предлагаемые варианты длины стадия влияют на результат. Для современных измерений тоже нужны чётко указанные единицы и конечные точки — именно на этом принципе основано определение размеров.

Что эта оценка показывает, а чего — нет

Описанная геометрия предполагает, что маршрут между Александрией и Сиеной проходит по дуге с севера на юг. На самом деле города не лежат точно на одной линии: Александрия находится на пару градусов долготы западнее Сиены, а не строго к северу от неё. Поэтому расстояние по маршруту не совпадает в точности с расстоянием вдоль меридиана (откроется в новой вкладке). Вместе с неопределённостью длины стадия эти обстоятельства не позволяют с высокой точностью сравнить древний результат с современной длиной окружности.

И всё же суть метода видна в приведённых числах. Угол тени около 7.2 градуса обозначал одну пятидесятую окружности; маршрут длиной 5,000 стадиев, умноженный на 50, дал длину окружности в 250,000 стадиев. Палка оставалась в Александрии, а её угол позволил представить измеренный отрезок Египта как часть кривизны всей Земли.