¿Cómo midió Eratóstenes la Tierra con un palo?

Eratóstenes estimó la circunferencia de la Tierra en 250,000 estadios (se abre en una pestaña nueva) comparando las sombras del mediodía en Alejandría y Siena, dos ciudades egipcias. Consideró que la diferencia entre los ángulos de las sombras, de unos 7.2 grados, equivalía a una cincuentava parte de un círculo; luego multiplicó por 50 la distancia indicada entre las ciudades.

La clave era la geometría: la luz solar que llega a Egipto puede considerarse paralela, mientras que un palo vertical apunta hacia el centro de la Tierra. Por eso, el ángulo que muestra una sombra en Alejandría coincide con el ángulo entre las ciudades visto desde el centro de la Tierra.

Dos ciudades, una diferencia sorprendente

Eratóstenes trabajó en Alejandría durante el período helenístico, hace más de 2,200 años (se abre en una pestaña nueva). La comparación se hizo entre el puerto mediterráneo y Siena, cerca de la actual Asuán, en el sur de Egipto. La geografía de Egipto proporcionó una larga línea de base para el cálculo: las ciudades están muy separadas a lo largo del Nilo, aproximadamente una al norte y la otra al sur.

El relato conocido sitúa la observación al mediodía del solsticio de verano. Se decía que en Siena el Sol iluminaba directamente el fondo de un pozo profundo, de modo que un objeto vertical no proyectaba sombra. Al mismo tiempo, en Alejandría, un palo vertical sí proyectaba una sombra. El relato del Smithsonian sobre la medición de Eratóstenes (se abre en una pestaña nueva) describe este contraste y el ángulo usado en el cálculo.

La historia nos llega a través del escritor posterior Cleomedes, no de un registro de Eratóstenes que se haya conservado (se abre en una pestaña nueva). Por eso, la observación es un testimonio de segunda mano, no un cuaderno de laboratorio. Aun así, el relato explica claramente la idea: una sombra local puede revelar cuánto cambia la dirección del suelo entre lugares distantes.

Cómo una sombra revela el ángulo central de la Tierra

Un palo vertical y la longitud de su sombra determinan las proporciones de un triángulo rectángulo; la inclinación de la luz solar proporciona el otro lado. A partir del triángulo se puede inferir el ángulo entre el palo y los rayos del Sol. El palo no tenía que extenderse a lo largo de Egipto. Su función era indicar la vertical local en Alejandría.

En Siena, el Sol supuestamente estaba en el cenit, por lo que la luz solar seguía la vertical local. En Alejandría, la sombra mostraba que el palo vertical se apartaba de los rayos entrantes en cierto ángulo. Como la luz solar llega en rayos casi paralelos a través de Egipto, la diferencia entre las direcciones verticales de las ciudades coincide con el ángulo entre las direcciones desde el centro de la Tierra (se abre en una pestaña nueva). Por tanto, la sombra del palo mide un ángulo local que corresponde a una porción de la curvatura del planeta.

El momento de la observación es importante. El mediodía local es cuando el Sol cruza el meridiano local norte-sur, así que su sombra indica el ángulo en la dirección pertinente para la ruta entre las ciudades. La observación en el solsticio de verano importa porque el relato sitúa entonces al Sol directamente sobre Siena. Sin ese punto de referencia, el cálculo también tendría que tener en cuenta el ángulo del Sol en Siena.

Un círculo completo mide 360 grados. El ángulo indicado de 7.2 grados equivale a una cincuentava parte de ese giro. Si la ruta entre Siena y Alejandría representa una cincuentava parte de la curva de la Tierra, su longitud se puede multiplicar por 50 para estimar la circunferencia. La descripción del Smithsonian explica este paso de la cincuentava parte del círculo en el cálculo.

Cómo se amplía la distancia entre las ciudades

El otro dato era la distancia indicada entre Siena y Alejandría: 5,000 estadios. Multiplicar 5,000 estadios por 50 da 250,000 estadios para la circunferencia de la Tierra. La explicación de la Carnegie Institution (se abre en una pestaña nueva) describe cómo Eratóstenes combinó la distancia medida con el ángulo de la sombra. La multiplicación, y no el intento de recorrer todo el planeta, permitió ampliar la escala.

Una conversión aproximada moderna de la distancia entre las ciudades es de unos 800 km. Esto ayuda a imaginar la línea de base, aunque el cálculo en sí usó estadios y un multiplicador. La anchura máxima de Groenlandia de este a oeste es de 1,050 km (652 mi), mientras que la anchura máxima del lago Victoria es de 240 km (149 mi). La distancia egipcia queda entre estas extensiones conocidas.

Por qué el estadio cambia el resultado

El cálculo da un resultado en estadios, una antigua unidad cuya longitud no era fija en todas partes. Los historiadores no pueden determinar con certeza qué estadio usó Eratóstenes. Según una interpretación generosa, un estadio medía unos 157.5 m (se abre en una pestaña nueva). Con esa longitud, 250,000 estadios equivalen a unos 39,375 km.

La circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40,000 km (se abre en una pestaña nueva), así que esa conversión deja a Eratóstenes a unos pocos puntos porcentuales de distancia. Pero la coincidencia depende del estadio elegido. Si se mantiene fijo el número de estadios y se escoge una unidad más corta, la estimación en kilómetros disminuye; si se escoge una unidad más larga, aumenta. La geometría de las sombras puede ser clara, aunque su conversión a unidades modernas siga siendo incierta.

El análisis de Union University sobre la estimación (se abre en una pestaña nueva) explica cómo las distintas longitudes propuestas para el estadio afectan al resultado. Las mediciones modernas también necesitan una unidad especificada y puntos de referencia claros: ese es el principio en el que se basa la definición de las mediciones de tamaño.

Qué puede y qué no puede demostrar la estimación

La geometría descrita supone que la ruta entre Alejandría y Siena sigue un arco de norte a sur. Las ciudades no están perfectamente alineadas de ese modo: Alejandría está en realidad un par de grados de longitud al oeste de Siena, no directamente al norte. Por eso, una distancia de viaje no coincide exactamente con la distancia a lo largo de un meridiano (se abre en una pestaña nueva). Junto con la incertidumbre sobre el estadio, estos detalles limitan la precisión con la que se puede comparar el resultado antiguo con una circunferencia moderna.

Aun así, la idea esencial del método se aprecia en las cifras indicadas. Un ángulo de sombra de unos 7.2 grados representaba una cincuentava parte de un círculo; la ruta de 5,000 estadios, multiplicada por 50, se convirtió en una circunferencia de 250,000 estadios. El palo se quedó en Alejandría, pero su ángulo permitió que un tramo medido de Egipto representara la curva de toda la Tierra.