에라토스테네스는 막대기로 지구를 어떻게 측정했을까?

에라토스테네스는 이집트의 두 도시 알렉산드리아와 시에네의 정오 그림자를 비교해 지구의 둘레를 250,000스타디아로 추정했습니다 (새 탭에서 열림). 두 도시에서 그림자가 이루는 각도의 차이를 약 7.2도로 보고, 이를 원의 50분의 1로 여긴 다음 두 도시 사이에 알려진 거리에 50을 곱했습니다.

핵심은 기하학이었습니다. 이집트에 도달하는 햇빛은 서로 평행하다고 볼 수 있고, 수직 막대는 지구의 중심을 향합니다. 따라서 알렉산드리아의 그림자가 보여 주는 각도는 지구 중심에서 본 두 도시 사이의 각도와 같습니다.

두 도시, 놀라운 차이 하나

에라토스테네스는 헬레니즘 시대에 알렉산드리아에서 활동했습니다. 그때는 2,200여 년 전 (새 탭에서 열림)이었습니다. 비교 대상은 지중해의 항구 도시 알렉산드리아와 오늘날 이집트 남부 아스완 근처에 있던 시에네였습니다. 이집트의 지리는 계산에 긴 기준선을 제공했습니다. 두 도시는 나일강을 따라 꽤 멀리 떨어져 있었고, 대체로 남북 방향으로 놓여 있었습니다.

널리 알려진 이야기에서는 관측이 하지의 정오에 이루어졌다고 합니다. 시에네에서는 태양이 깊은 우물 안을 곧장 비춰 수직으로 세운 물체에 그림자가 생기지 않았다고 전해집니다. 같은 시각 알렉산드리아에서는 수직 막대에 그림자가 드리워졌습니다. 스미스소니언의 에라토스테네스 측정 설명 (새 탭에서 열림)은 이 차이와 계산에 사용된 각도를 소개합니다.

이 이야기는 에라토스테네스가 직접 남긴 기록이 아니라 (새 탭에서 열림) 후대 저술가 클레오메데스를 통해 전해집니다. 따라서 이 관측은 실험실 기록이 아니라 간접 증거입니다. 그래도 그 설명은 핵심 아이디어를 분명히 보여 줍니다. 한 장소의 그림자를 이용하면 멀리 떨어진 두 곳 사이에서 지면의 방향이 얼마나 달라지는지 알 수 있습니다.

그림자는 어떻게 지구 중심의 각도를 알려 줄까

수직 막대와 그림자의 길이는 직각삼각형의 비율을 정하고, 햇빛이 기울어 들어오는 방향이 나머지 한 변을 나타냅니다. 이 삼각형으로 막대와 햇빛 사이의 각도를 추정할 수 있습니다. 막대가 이집트 전역에 걸쳐 있을 필요는 없었습니다. 막대의 역할은 알렉산드리아의 수직 방향을 표시하는 것이었습니다.

시에네에서 태양이 바로 머리 위에 있었다는 기록은 햇빛이 그곳의 수직 방향과 나란히 들어왔다는 뜻입니다. 알렉산드리아에서는 수직 막대가 그림자로 드러난 각도만큼 햇빛이 들어오는 방향에서 벗어나 있었습니다. 이집트 전역에서 햇빛은 거의 평행하게 들어오므로, 두 도시의 수직 방향 차이는 지구 중심에서 바라본 두 도시 방향 사이의 각도 (새 탭에서 열림)와 같습니다. 따라서 막대의 그림자는 행성 곡면의 일부에 해당하는 국소적인 각도를 측정해 줍니다.

관측 시점도 중요합니다. 현지 정오는 태양이 그 지역의 남북 자오선을 지나는 때이므로, 그림자는 두 도시 사이의 경로와 관련된 방향의 각도를 알려 줍니다. 하지에 관측했다는 점이 중요한 이유는 그때 시에네에서 태양이 바로 머리 위에 있었다고 기록되어 있기 때문입니다. 이 기준점이 없다면 시에네에서 태양이 이루는 각도도 계산에 반영해야 했을 것입니다.

완전한 원은 360도입니다. 기록에 나온 7.2도는 그 원의 50분의 1입니다. 시에네와 알렉산드리아 사이의 경로가 지구 곡면의 50분의 1에 해당한다면, 그 길이에 50을 곱해 둘레를 추정할 수 있습니다. 스미스소니언의 설명은 계산에서 이 ‘원의 50분의 1’ 단계를 짚어 줍니다.

도시 사이의 거리를 확대해 계산하기

나머지 요소는 시에네에서 알렉산드리아까지의 거리로, 5,000스타디아라고 전해집니다. 5,000스타디아에 50을 곱하면 지구 둘레는 250,000스타디아가 됩니다. 카네기 연구소의 설명 (새 탭에서 열림)은 에라토스테네스가 측정한 거리와 그림자 각도를 어떻게 결합했는지 설명합니다. 행성 전체를 따라가며 재려는 대신 곱셈으로 거리를 확대해 계산한 것입니다.

오늘날 단위로 대략 환산하면 두 도시 사이의 거리는 약 800 km입니다. 이 값은 기준선의 규모를 가늠하는 데 도움이 되지만, 계산 자체는 스타디아와 곱셈값을 사용했습니다. 그린란드의 최대 동서 너비는 1,050 km (652 mi)이고, 빅토리아호의 최대 너비는 240 km (149 mi)입니다. 이집트의 거리는 이 두 익숙한 거리의 중간쯤에 해당합니다.

스타디온에 따라 답이 달라지는 이유

계산 결과는 고대 단위인 스타디아로 나오지만, 이 단위의 길이는 지역마다 일정하지 않았습니다. 역사학자들은 에라토스테네스가 어떤 스타디온을 사용했는지 확실히 알아내지 못했습니다. 넉넉하게 잡으면 스타디온 하나는 약 157.5 m (새 탭에서 열림)였습니다. 이 길이를 적용하면 250,000스타디아는 약 39,375 km로 환산됩니다.

지구 둘레는 약 40,000 km (새 탭에서 열림)이므로, 이 환산값을 기준으로 하면 에라토스테네스의 추정치는 몇 퍼센트 이내로 들어옵니다. 하지만 이렇게 가까운 값이 나오는지는 어떤 스타디온을 택하느냐에 달려 있습니다. 스타디아의 개수는 그대로 두고 더 짧은 단위를 택하면 킬로미터로 환산한 값은 작아지고, 더 긴 단위를 택하면 커집니다. 그림자 기하학은 분명해도 이를 현대 단위로 환산한 결과는 불확실할 수 있습니다.

유니언 대학교의 추정치 관련 설명 (새 탭에서 열림)은 스타디온의 길이에 대한 여러 가정이 결과에 어떤 영향을 주는지 설명합니다. 현대의 측정에도 단위를 명시하고 기준점의 위치를 분명히 해야 합니다. 이는 크기 측정의 정의 방식의 기본 원칙입니다.

이 추정치가 보여 주는 것과 보여 주지 못하는 것

기록에 나온 기하학은 알렉산드리아와 시에네 사이의 경로가 남북 방향의 호를 따라간다고 가정합니다. 하지만 두 도시는 남북으로 완벽하게 나란히 놓여 있지 않습니다. 알렉산드리아는 시에네보다 경도가 실제로 몇 도 서쪽에 있어, 정확히 북쪽에 있지 않습니다. 따라서 이동 거리는 자오선을 따라 잰 거리 (새 탭에서 열림)와 정확히 일치하지 않습니다. 이런 점과 스타디온의 길이에 관한 불확실성 때문에 고대의 결과를 현대의 둘레 측정값과 정밀하게 비교하는 데 한계가 있습니다.

그래도 전해지는 수치에는 이 방법의 핵심 과정이 드러납니다. 약 7.2도의 그림자 각도가 원의 50분의 1을 나타냈고, 5,000스타디아의 경로에 50을 곱해 둘레를 250,000스타디아로 계산했습니다. 막대는 알렉산드리아에 그대로 있었지만, 그 막대가 만든 각도 덕분에 이집트의 측정 구간을 지구 전체의 곡면을 나타내는 데 활용할 수 있었습니다.