埃拉托色尼如何用一根木棍测量地球？

埃拉托色尼通过比较埃及两座城市亚历山大和赛伊内的正午影子，估算出地球的周长为 250,000 斯塔迪亚 （在新标签页中打开）。他把两地影子角度的差值——约 7.2 度——视为一个圆周的五十分之一，然后将两座城市之间据报的距离乘以 50。

关键在于几何学：可以把照射埃及的阳光视为平行光线，而竖直的木棍则指向地球中心。这样一来，亚历山大影子所显示的角度，就与从地球中心看两座城市之间的夹角相同。

两座城市，一个令人惊讶的差异

埃拉托色尼在希腊化时期生活于亚历山大，距今已有 2,200 多年 （在新标签页中打开）。这次比较将地中海港口亚历山大与赛伊内联系起来；赛伊内位于今天埃及南部的阿斯旺附近。埃及的地理环境为计算提供了较长的基线：两座城市沿尼罗河相距甚远，大致位于彼此的南北方向。

广为人知的说法称，观测发生在夏至日的正午。据说在赛伊内，太阳光直射一口深井，竖直物体没有留下影子。而同一时刻，亚历山大的一根竖直木棍投下了影子。史密森尼关于埃拉托色尼测量的介绍 （在新标签页中打开）描述了这一反差以及计算中用到的角度。

这个故事来自后世的作者克莱奥墨得斯，而不是埃拉托色尼留下的记录 （在新标签页中打开）。因此，关于观测的说法属于转述证据，并非实验室笔记。尽管如此，这段记载仍清楚地说明了其中的思路：一个地方的影子，能够揭示相距遥远的地点之间地面朝向变化了多少。

影子如何揭示地球中心角

竖直木棍和影子的长度决定了一个直角三角形的比例；阳光的倾斜方向则提供了另一条边。根据这个三角形，可以推算出木棍与太阳光线之间的角度。这根木棍不必横跨埃及。它的作用是在亚历山大标示当地的竖直方向。

据说在赛伊内，太阳位于正上方，意味着阳光沿着当地的竖直方向照射。在亚历山大，竖直木棍与入射的阳光之间则形成了一个角度，这个角度可以从影子看出。由于阳光穿过埃及时几乎是平行光线，两座城市各自的竖直方向之间的差异，就对应于从地球中心看两座城市方向之间的夹角 （在新标签页中打开）。因此，木棍的影子测得的是一个当地角度，它对应着地球曲线的一段。

观测时间很重要。当地正午是太阳经过当地南北子午线的时候，因此影子给出的角度，正是与两座城市之间路线相关的方向上的角度。选择夏至日观测也很重要，因为记载称那时太阳正好位于赛伊内的正上方。如果没有这个参照点，计算还必须考虑太阳在赛伊内的角度。

一个完整的圆是 360 度。据报的 7.2 度角是这一圆周的五十分之一。如果赛伊内与亚历山大之间的路线代表地球曲线的五十分之一，那么将这段距离乘以 50，就能估算出地球周长。史密森尼的介绍说明了计算中这一步如何将角度换算为圆周的五十分之一。

如何按城市间的距离推算

另一个要素是据报的赛伊内至亚历山大距离：5,000 斯塔迪亚。将 5,000 斯塔迪亚乘以 50，得到地球周长为 250,000 斯塔迪亚。卡内基研究所的解释 （在新标签页中打开）介绍了埃拉托色尼如何将测得的距离与影子角度结合起来。真正完成尺度推算的是这次乘法，而不是试图沿着整个地球测量一圈。

把两座城市之间的距离粗略换算成现代单位，大约是 800 km。这有助于想象这段基线有多长，不过计算本身使用的是斯塔迪亚和乘数。格陵兰岛东西向的最大宽度为 1,050 km (652 mi)，而维多利亚湖的最大宽度为 240 km (149 mi)。这段埃及距离介于这两个熟悉的跨度之间。

为什么斯塔迪翁会改变答案

计算得出的结果单位是斯塔迪亚，这是一种古代长度单位，在不同地方的长度并不统一。历史学家无法确定埃拉托色尼使用的是哪一种斯塔迪翁。按较宽松的估算，一个斯塔迪翁约为 157.5 m （在新标签页中打开）。按这个长度换算，250,000 斯塔迪亚约为 39,375 km。

地球周长约为 40,000 km （在新标签页中打开），因此这种换算结果与真实值相差不到几个百分点。但如此接近的结果取决于选用哪一种斯塔迪翁。保持斯塔迪亚的数量不变，若采用较短的单位，换算成公里的结果就会变小；若采用较长的单位，结果就会变大。影子的几何关系可以很清楚，但换算成现代单位的结果仍存在不确定性。

联合大学对这一估算的讨论 （在新标签页中打开）解释了不同的斯塔迪翁长度会如何影响结果。现代测量也需要明确说明使用的单位和测量端点，这正是尺寸测量如何定义所依据的原则。

这个估算能说明什么，不能说明什么

据报的几何关系假设亚历山大与赛伊内之间的路线沿着南北向的弧线。两座城市并非完全处于这条线上——亚历山大实际上比赛伊内偏西几个经度，而非正好位于其正北方——因此，行程距离并不完全等同于沿子午线测得的距离 （在新标签页中打开）。再加上斯塔迪翁长度不确定，这些因素限制了古代结果与现代地球周长之间的精确比较。

尽管如此，从据报的数据中仍能看出这种方法的核心思路。约 7.2 度的影子角度标示了一个圆周的五十分之一；将 5,000 斯塔迪亚的路线距离乘以 50，便得到 250,000 斯塔迪亚的地球周长。一根木棍留在亚历山大，却凭借它所显示的角度，让埃及一段测得的距离代表了整个地球的曲线。