Como Eratóstenes mediu a Terra com uma vara?

Eratóstenes estimou a circunferência da Terra em 250,000 estádios (abre em uma nova guia) comparando as sombras ao meio-dia em Alexandria e Siene, duas cidades egípcias. Ele considerou a diferença entre os ângulos das sombras, cerca de 7.2 graus, como um quinquagésimo de um círculo e, então, multiplicou por 50 a distância informada entre as cidades.

A chave era a geometria: a luz do Sol que chega ao Egito pode ser considerada paralela, enquanto uma vara vertical aponta para o centro da Terra. Assim, o ângulo indicado por uma sombra em Alexandria corresponde ao ângulo entre as cidades visto do centro da Terra.

Duas cidades, uma diferença surpreendente

Eratóstenes trabalhava em Alexandria durante o período helenístico, há mais de 2.200 anos (abre em uma nova guia). A comparação reunia a cidade portuária do Mediterrâneo e Siene, perto da atual Assuã, no sul do Egito. A geografia do Egito forneceu uma linha de base longa para o cálculo: as cidades ficam bem distantes uma da outra ao longo do Nilo, aproximadamente na direção norte-sul.

O relato mais conhecido situa a observação ao meio-dia do solstício de verão. Em Siene, dizia-se que o Sol incidia diretamente no fundo de um poço profundo, sem produzir sombra em um objeto vertical. Naquele mesmo momento, em Alexandria, uma vara vertical projetava uma sombra. O relato do Smithsonian sobre a medição de Eratóstenes (abre em uma nova guia) descreve esse contraste e o ângulo usado no cálculo.

A história chegou até nós pelo escritor posterior Cleomedes, e não por um registro de Eratóstenes que tenha sobrevivido (abre em uma nova guia). Portanto, a observação é um testemunho indireto, não um caderno de laboratório. Ainda assim, o relato explica claramente a ideia: uma sombra local pode revelar quanto a direção do solo muda entre lugares distantes.

Como uma sombra revela o ângulo central da Terra

Uma vara vertical e o comprimento de sua sombra determinam as proporções de um triângulo retângulo; a inclinação da luz solar fornece a linha restante. Com base no triângulo, é possível deduzir o ângulo entre a vara e os raios do Sol. A vara não precisava atravessar o Egito. Sua função era marcar a vertical local em Alexandria.

Em Siene, a posição do Sol diretamente acima, segundo o relato, significava que a luz solar seguia a vertical local. Em Alexandria, a vara vertical se afastava dos raios que chegavam, formando o ângulo indicado por sua sombra. Como a luz solar chega ao Egito em raios quase paralelos, a diferença entre as direções verticais das cidades corresponde ao ângulo entre as direções delas vistas do centro da Terra (abre em uma nova guia). Portanto, a sombra da vara mede um ângulo local que corresponde a um trecho da curvatura do planeta.

O horário é importante. O meio-dia local é quando o Sol cruza o meridiano norte-sul local; por isso, a sombra indica o ângulo na direção relevante para o trajeto entre as cidades. A observação no solstício de verão importa porque, segundo o relato, o Sol ficava diretamente acima de Siene nessa ocasião. Sem esse ponto de referência, o cálculo também teria de levar em conta o ângulo do Sol em Siene.

Um círculo completo mede 360 graus. O ângulo informado de 7.2 graus corresponde a um quinquagésimo dessa volta. Se o trajeto entre Siene e Alexandria representa um quinquagésimo da curvatura da Terra, seu comprimento pode ser multiplicado por 50 para estimar a circunferência. A descrição do Smithsonian apresenta essa etapa do cálculo, baseada em um quinquagésimo do círculo.

Como a distância entre as cidades é ampliada

O outro ingrediente era a distância informada entre Siene e Alexandria: 5,000 estádios. Multiplicar 5,000 estádios por 50 resulta em 250,000 estádios para a circunferência da Terra. A explicação da Instituição Carnegie (abre em uma nova guia) descreve como Eratóstenes combinou a distância medida com o ângulo da sombra. Foi a multiplicação — e não uma tentativa de percorrer todo o planeta — que ampliou a escala.

Uma conversão aproximada para os padrões atuais coloca a distância entre as cidades em cerca de 800 km. Isso ajuda a visualizar a linha de base, embora o cálculo em si tenha usado estádios e um multiplicador. A largura máxima da Groenlândia de leste a oeste é 1,050 km (652 mi), enquanto a largura máxima do Lago Vitória é 240 km (149 mi). A distância egípcia fica entre essas dimensões conhecidas.

Por que o estádio muda a resposta

O cálculo produz um resultado em estádios, uma unidade antiga cujo comprimento não era fixo em todos os lugares. Os historiadores não conseguem determinar com certeza qual estádio Eratóstenes usou. Numa interpretação generosa, um estádio equivalia a cerca de 157.5 m (abre em uma nova guia). Com esse comprimento, 250,000 estádios equivalem a cerca de 39,375 km.

A circunferência da Terra é de aproximadamente 40,000 km (abre em uma nova guia), então essa conversão deixa a estimativa de Eratóstenes a poucos por cento do valor atual. Mas a proximidade depende do estádio escolhido. Mantenha fixa a quantidade de estádios e escolha uma unidade mais curta, e a estimativa em quilômetros diminui; escolha uma mais longa, e ela aumenta. A geometria das sombras pode ser clara, enquanto sua conversão para unidades modernas continua incerta.

A discussão da estimativa pela Union University (abre em uma nova guia) explica como os comprimentos de estádio propostos afetam o resultado. As medições modernas também precisam especificar uma unidade e pontos finais claros, princípio por trás de como as medidas de tamanho são definidas.

O que a estimativa pode e não pode mostrar

A geometria apresentada pressupõe que o trajeto entre Alexandria e Siene acompanha um arco norte-sul. As cidades não estão perfeitamente alinhadas nessa direção — Alexandria fica, na verdade, alguns graus de longitude a oeste de Siene, e não exatamente ao norte dela —, por isso uma distância percorrida não corresponde exatamente à distância ao longo de um meridiano (abre em uma nova guia). Junto com a incerteza sobre o estádio, esses detalhes limitam a precisão com que o resultado antigo pode ser comparado à circunferência moderna.

Ainda assim, a ideia essencial do método fica clara nos números apresentados. Um ângulo de sombra de cerca de 7.2 graus marcava um quinquagésimo de um círculo; o trajeto de 5,000 estádios, multiplicado por 50, resultava em uma circunferência de 250,000 estádios. A vara ficou em Alexandria, enquanto seu ângulo permitiu que um trecho medido do Egito representasse a curvatura da Terra inteira.