Jak Eratostenes zmierzył Ziemię za pomocą kija?

Eratostenes oszacował obwód Ziemi na 250 000 stadionów (otwiera się w nowej karcie), porównując południowe cienie w Aleksandrii i Syene, dwóch egipskich miastach. Różnicę między kątami cieni, wynoszącą około 7,2 stopnia, uznał za jedną pięćdziesiątą pełnego okręgu, a następnie pomnożył podaną odległość między miastami przez 50.

Kluczem była geometria: promienie słoneczne docierające do Egiptu można uznać za równoległe, a pionowy kij wskazuje środek Ziemi. Dzięki temu kąt wyznaczony przez cień w Aleksandrii odpowiada kątowi między miastami widzianemu ze środka Ziemi.

Dwa miasta, zaskakująca różnica

Eratostenes pracował w Aleksandrii w okresie hellenistycznym, ponad 2200 lat temu (otwiera się w nowej karcie). W porównaniu zestawiono śródziemnomorski port z Syene, leżącym w pobliżu dzisiejszego Asuanu w południowym Egipcie. Geografia Egiptu zapewniała obliczeniom długą bazę pomiarową: miasta dzieli znaczna odległość wzdłuż Nilu, a ich położenie jest w przybliżeniu północno-południowe.

Według znanej opowieści obserwację przeprowadzono w południe podczas przesilenia letniego. W Syene Słońce miało świecić pionowo w głąb studni, tak że pionowy przedmiot nie rzucał cienia. W tym samym czasie w Aleksandrii pionowy kij rzucał cień. Opis pomiaru Eratostenesa w Smithsonian (otwiera się w nowej karcie) przedstawia ten kontrast i kąt wykorzystany w obliczeniach.

Opowieść znamy z relacji późniejszego pisarza Kleomedesa, a nie z zachowanego zapisu Eratostenesa (otwiera się w nowej karcie). Jest to więc świadectwo z drugiej ręki, a nie notatnik laboratoryjny. Relacja jasno przedstawia jednak samą ideę: lokalny cień może ujawnić, jak bardzo zmienia się kierunek podłoża między odległymi miejscami.

Jak cień ujawnia kąt środkowy Ziemi

Pionowy kij i długość jego cienia wyznaczają proporcje trójkąta prostokątnego, a nachylenie promieni słonecznych dostarcza brakującego boku. Na podstawie trójkąta można określić kąt między kijem a promieniami Słońca. Kij nie musiał sięgać przez cały Egipt. Jego zadaniem było wskazanie lokalnego pionu w Aleksandrii.

W Syene Słońce znajdujące się, według relacji, dokładnie nad głową oznaczało, że promienie słoneczne biegły wzdłuż lokalnego pionu. W Aleksandrii pionowy kij odchylał się od nadlatujących promieni o kąt wyznaczony przez jego cień. Ponieważ nad Egiptem promienie słoneczne docierają niemal równolegle, różnica między kierunkami pionu w obu miastach odpowiada kątowi między ich kierunkami liczonymi od środka Ziemi (otwiera się w nowej karcie). Cień kija mierzy więc lokalny kąt, który odpowiada wycinkowi krzywizny planety.

Istotna jest pora pomiaru. Południe słoneczne to moment, gdy Słońce przekracza lokalny południk północ-południe, dlatego cień wskazuje kąt w kierunku istotnym dla trasy między miastami. Znaczenie ma też obserwacja podczas przesilenia letniego, ponieważ według relacji właśnie wtedy Słońce znajdowało się dokładnie nad Syene. Bez tego punktu odniesienia obliczenia musiałyby uwzględniać również kąt padania promieni słonecznych w Syene.

Pełny okrąg ma 360 stopni. Podany kąt 7,2 stopnia stanowi jedną pięćdziesiątą pełnego obrotu. Jeśli trasa między Syene a Aleksandrią odpowiada jednej pięćdziesiątej krzywizny Ziemi, jej długość można pomnożyć przez 50, by oszacować obwód. Opis Smithsonian przedstawia ten etap obliczeń — jedną pięćdziesiątą okręgu.

Jak przeskalować odległość między miastami

Drugim składnikiem była podana odległość między Syene a Aleksandrią: 5 000 stadionów. Pomnożenie 5 000 stadionów przez 50 daje obwód Ziemi równy 250 000 stadionów. Wyjaśnienie Carnegie Institution (otwiera się w nowej karcie) opisuje, jak Eratostenes połączył zmierzoną odległość z kątem wyznaczonym przez cień. To mnożenie, a nie próba obejścia całej planety, pozwoliło przeskalować wynik.

W przybliżonym współczesnym przeliczeniu odległość między miastami wynosi około 800 km. Pomaga to wyobrazić sobie długość bazy pomiarowej, choć w samych obliczeniach użyto stadionów i mnożnika. Maksymalna szerokość Grenlandii ze wschodu na zachód to 1 050 km (652 mi), a maksymalna szerokość Jeziora Wiktorii wynosi 240 km (149 mi). Odległość w Egipcie mieści się między tymi znanymi wymiarami.

Dlaczego stadion zmienia wynik

Wynik obliczeń wyrażony jest w stadionach, starożytnej jednostce, której długość nie była wszędzie taka sama. Historycy nie są w stanie z całą pewnością ustalić, którego stadionu używał Eratostenes. Przyjmując większą wartość, jeden stadion miał około 157,5 m (otwiera się w nowej karcie). Przy takiej długości 250 000 stadionów odpowiada około 39 375 km.

Obwód Ziemi wynosi mniej więcej 40 000 km (otwiera się w nowej karcie), więc to przeliczenie daje wynik różniący się o kilka procent. Tak bliskie dopasowanie zależy jednak od przyjętej długości stadionu. Jeśli pozostawimy tę samą liczbę stadionów, ale wybierzemy krótszą jednostkę, wynik w kilometrach będzie mniejszy; jeśli wybierzemy dłuższą — większy. Geometria cienia może być jasna, choć przeliczenie jej wyniku na współczesne jednostki pozostaje niepewne.

Omówienie szacunku przez Union University (otwiera się w nowej karcie) wyjaśnia, jak proponowane długości stadionu wpływają na wynik. Współczesne pomiary również wymagają podania jednostki i jasnego określenia punktów końcowych — to zasada leżąca u podstaw definiowania pomiarów wielkości.

Co ten szacunek pokazuje, a czego nie

Przedstawiona geometria zakłada, że trasa między Aleksandrią a Syene biegnie wzdłuż łuku z północy na południe. Miasta nie leżą jednak dokładnie na jednej linii w tym kierunku — Aleksandria znajduje się w rzeczywistości o kilka stopni długości geograficznej na zachód od Syene, a nie dokładnie na północ od niego — dlatego odległość pokonana w podróży nie odpowiada dokładnie odległości wzdłuż południka (otwiera się w nowej karcie). Wraz z niepewną długością stadionu te szczegóły ograniczają dokładność porównania starożytnego wyniku ze współczesnym obwodem Ziemi.

Mimo to zasadniczy pomysł metody jest widoczny w podanych liczbach. Kąt cienia wynoszący około 7,2 stopnia oznaczał jedną pięćdziesiątą okręgu; trasę długości 5 000 stadionów pomnożono przez 50, otrzymując obwód 250 000 stadionów. Kij pozostał w Aleksandrii, a jego kąt sprawił, że zmierzony odcinek Egiptu mógł reprezentować krzywiznę całej Ziemi.