इरैटोस्थनीज ने एक छड़ी से पृथ्वी कैसे मापी?

इरैटोस्थनीज ने मिस्र के दो शहरों, अलेक्ज़ान्द्रिया और सिएने में दोपहर की छायाओं की तुलना करके पृथ्वी की परिधि 250,000 स्टेडिया (नए टैब में खुलता है) आँकी। उन्होंने छायाओं के कोणों के अंतर—लगभग 7.2 डिग्री—को एक वृत्त का पचासवाँ हिस्सा माना, फिर शहरों के बीच बताई गई दूरी को 50 से गुणा किया।

इसका आधार ज्यामिति थी: मिस्र तक पहुँचने वाली सूर्य की किरणों को समानांतर माना जा सकता है, जबकि एक खड़ी छड़ी पृथ्वी के केंद्र की ओर संकेत करती है। इसलिए अलेक्ज़ान्द्रिया में छाया से दिखने वाला कोण, पृथ्वी के केंद्र से देखने पर दोनों शहरों के बीच के कोण के बराबर होता है।

दो शहर, एक हैरान करने वाला अंतर

इरैटोस्थनीज ने हेलेनिस्टिक काल में अलेक्ज़ान्द्रिया में काम किया, 2,200 साल से भी अधिक पहले (नए टैब में खुलता है)। इस तुलना में भूमध्यसागर के बंदरगाह शहर अलेक्ज़ान्द्रिया को सिएने से जोड़ा गया, जो दक्षिणी मिस्र के आधुनिक अस्वान के पास है। मिस्र के भूगोल ने गणना के लिए लंबी आधार-दूरी दी: दोनों शहर नील नदी के किनारे एक-दूसरे से काफी दूर, मोटे तौर पर उत्तर और दक्षिण में स्थित हैं।

प्रचलित विवरण के अनुसार, यह अवलोकन ग्रीष्म अयनांत के दिन दोपहर में किया गया था। कहा जाता है कि सिएने में सूर्य एक गहरे कुएँ में सीधा चमकता था, इसलिए किसी खड़ी वस्तु की छाया नहीं पड़ती थी। उसी समय अलेक्ज़ान्द्रिया में एक खड़ी छड़ी की छाया पड़ती थी। इरैटोस्थनीज की माप का स्मिथसोनियन विवरण (नए टैब में खुलता है) इस अंतर और गणना में इस्तेमाल किए गए कोण का वर्णन करता है।

यह कथा बाद के लेखक क्लियोमेडीज़ के माध्यम से हम तक पहुँची है, न कि इरैटोस्थनीज के किसी बचे हुए लेख (नए टैब में खुलता है) से। इसलिए यह अवलोकन प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं, बल्कि दूसरे व्यक्ति से मिली जानकारी है—किसी प्रयोगशाला की नोटबुक नहीं। फिर भी, विवरण इस विचार को साफ़ तौर पर समझाता है: किसी जगह की छाया बता सकती है कि दूर-दराज़ के स्थानों के बीच ज़मीन की दिशा कितनी बदलती है।

छाया पृथ्वी के केंद्रीय कोण को कैसे दिखाती है

एक खड़ी छड़ी और उसकी छाया की लंबाई समकोण त्रिभुज के अनुपात तय करती हैं; सूर्य की तिरछी किरण तीसरी भुजा देती है। इस त्रिभुज से छड़ी और सूर्य की किरणों के बीच का कोण निकाला जा सकता है। छड़ी को पूरे मिस्र में फैलाने की ज़रूरत नहीं थी। अलेक्ज़ान्द्रिया में स्थानीय ऊर्ध्वाधर दिशा दिखाना ही उसका काम था।

सिएने में सूर्य के सिर के ठीक ऊपर होने की बताई गई स्थिति का मतलब था कि सूर्य की किरणें वहाँ की स्थानीय ऊर्ध्वाधर दिशा में पड़ती थीं। अलेक्ज़ान्द्रिया में खड़ी छड़ी, अपनी छाया से पता चलने वाले कोण के कारण, आती हुई किरणों से झुकी हुई दिखाई देती थी। चूँकि पूरे मिस्र में सूर्य की किरणें लगभग समानांतर आती हैं, इसलिए दोनों शहरों की ऊर्ध्वाधर दिशाओं का अंतर, पृथ्वी के केंद्र से देखने पर उनकी दिशाओं के बीच के कोण (नए टैब में खुलता है) के बराबर होता है। इस तरह छड़ी की छाया एक स्थानीय कोण मापती है, जो ग्रह की वक्रता के एक हिस्से से मेल खाता है।

समय भी मायने रखता है। स्थानीय दोपहर वह समय है जब सूर्य स्थानीय उत्तर-दक्षिण मध्याह्न रेखा को पार करता है, इसलिए उसकी छाया दोनों शहरों के बीच के रास्ते से संबंधित दिशा में कोण दिखाती है। ग्रीष्म अयनांत का अवलोकन इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि विवरण के अनुसार उस समय सिएने में सूर्य सिर के ठीक ऊपर था। इस संदर्भ-बिंदु के बिना, गणना में सिएने पर सूर्य के कोण का भी हिसाब रखना पड़ता।

एक पूरा वृत्त 360 डिग्री का होता है। बताया गया 7.2-डिग्री का कोण उस वृत्त के पचासवें हिस्से के बराबर है। यदि सिएने और अलेक्ज़ान्द्रिया के बीच का रास्ता पृथ्वी की वक्रता के पचासवें हिस्से के बराबर है, तो परिधि का अनुमान लगाने के लिए उस रास्ते की लंबाई को 50 से गुणा किया जा सकता है। स्मिथसोनियन का विवरण गणना में वृत्त के इस पचासवें हिस्से वाले चरण को समझाता है।

शहरों के बीच की दूरी से पूरी परिधि का अनुमान

गणना का दूसरा आधार सिएने से अलेक्ज़ान्द्रिया तक की बताई गई दूरी थी: 5,000 स्टेडिया। 5,000 स्टेडिया को 50 से गुणा करने पर पृथ्वी की परिधि 250,000 स्टेडिया आती है। कार्नेगी इंस्टीट्यूशन का विवरण (नए टैब में खुलता है) बताता है कि इरैटोस्थनीज ने मापी गई दूरी को छाया के कोण के साथ कैसे जोड़ा। पूरी पृथ्वी का चक्कर लगाने की कोशिश करने के बजाय, इसी गुणा ने दूरी का पैमाना बढ़ाया।

आज की इकाइयों में शहरों के बीच की दूरी का एक मोटा रूपांतरण लगभग 800 km है। इससे आधार-दूरी की कल्पना करने में मदद मिलती है, हालाँकि गणना में स्टेडिया और गुणक का इस्तेमाल हुआ था। ग्रीनलैंड की अधिकतम पूर्व-पश्चिम चौड़ाई 1,050 km (652 mi) है, जबकि विक्टोरिया झील की अधिकतम चौड़ाई 240 km (149 mi) है। मिस्र में यह दूरी इन दोनों परिचित फैलावों के बीच आती है।

स्टेडियन से उत्तर क्यों बदलता है

इस गणना का नतीजा स्टेडिया में आता है—एक प्राचीन इकाई जिसकी लंबाई हर जगह एक जैसी तय नहीं थी। इतिहासकार निश्चित रूप से नहीं बता सकते कि इरैटोस्थनीज ने किस स्टेडियन का इस्तेमाल किया था। एक उदार अनुमान के अनुसार, एक स्टेडियन लगभग 157.5 m (नए टैब में खुलता है) था। इस लंबाई के आधार पर 250,000 स्टेडिया लगभग 39,375 km होते हैं।

पृथ्वी की परिधि लगभग 40,000 km (नए टैब में खुलता है) है, इसलिए इस रूपांतरण के अनुसार इरैटोस्थनीज का अनुमान कुछ प्रतिशत के भीतर था। लेकिन यह करीबी मेल चुने गए स्टेडियन पर निर्भर करता है। स्टेडिया की संख्या वही रखें और छोटी इकाई चुनें, तो किलोमीटर में अनुमान घटेगा; लंबी इकाई चुनें, तो बढ़ेगा। छाया की ज्यामिति स्पष्ट हो सकती है, जबकि उसे आधुनिक इकाइयों में बदलने को लेकर अनिश्चितता बनी रहती है।

अनुमान पर यूनियन यूनिवर्सिटी की चर्चा (नए टैब में खुलता है) बताती है कि प्रस्तावित स्टेडियन लंबाइयाँ नतीजे को कैसे प्रभावित करती हैं। आधुनिक मापों में भी इकाई और स्पष्ट अंतिम बिंदु बताने की ज़रूरत होती है—यही सिद्धांत आकार के माप तय करने के तरीके के पीछे है।

यह अनुमान क्या बता सकता है और क्या नहीं

बताई गई ज्यामिति यह मानती है कि अलेक्ज़ान्द्रिया और सिएने के बीच का रास्ता उत्तर-दक्षिण चाप के साथ चलता है। शहर पूरी तरह इस दिशा में एक सीध में नहीं हैं—अलेक्ज़ान्द्रिया, सिएने से ठीक उत्तर में नहीं, बल्कि देशांतर के हिसाब से कुछ डिग्री पश्चिम में है—इसलिए यात्रा की दूरी मध्याह्न रेखा के साथ की दूरी (नए टैब में खुलता है) से बिल्कुल मेल नहीं खाती। स्टेडियन की अनिश्चित लंबाई के साथ, ये बातें यह सीमित करती हैं कि प्राचीन नतीजे की आधुनिक परिधि से कितनी सटीक तुलना की जा सकती है।

फिर भी, बताए गए आँकड़ों में इस विधि का मुख्य विचार साफ़ दिखाई देता है। लगभग 7.2 डिग्री की छाया का कोण एक वृत्त के पचासवें हिस्से को दर्शाता था; 5,000 स्टेडिया के रास्ते को 50 से गुणा करने पर 250,000 स्टेडिया की परिधि मिली। छड़ी अलेक्ज़ान्द्रिया में ही रही, लेकिन उसके कोण ने मिस्र के मापे हुए हिस्से को पूरी पृथ्वी की वक्रता का प्रतिनिधि बना दिया।