Як Ератосфен виміряв Землю за допомогою палиці?

Ератосфен оцінив довжину кола Землі у 250,000 стадіїв (відкривається в новій вкладці), порівнявши полуденні тіні у двох єгипетських містах — Александрії та Сієні. Він вважав, що різниця між кутами тіней, приблизно 7.2 градуса, становить одну п’ятдесяту кола, а тоді помножив відому відстань між містами на 50.

В основі методу була геометрія: сонячні промені, що досягають Єгипту, можна вважати паралельними, а вертикальна палиця вказує на центр Землі. Завдяки цьому кут, який показує тінь в Александрії, дорівнює куту між містами, якщо дивитися на них із центра Землі.

Два міста й одна дивовижна різниця

Ератосфен працював в Александрії в елліністичний період, понад 2,200 років тому (відкривається в новій вкладці). Для порівняння взяли середземноморський порт і Сієну, розташовану поблизу сучасного Асуана на півдні Єгипту. Географія Єгипту забезпечила довгу базову відстань для розрахунку: міста лежать далеко одне від одного вздовж Нілу, приблизно на північ і південь.

За звичним описом, спостереження проводили опівдні в день літнього сонцестояння. У Сієні Сонце, як розповідають, світило просто в глибокий колодязь, і вертикальний предмет не відкидав тіні. Водночас в Александрії вертикальна палиця відкидала тінь. Опис вимірювання Ератосфеном у Smithsonian (відкривається в новій вкладці) розповідає про цю різницю та кут, використаний у розрахунку.

Ця історія дійшла до нас завдяки пізнішому автору Клеомеду, а не завдяки збереженим записам самого Ератосфена (відкривається в новій вкладці). Тож це свідчення з чужих слів, а не лабораторний щоденник. Однак опис чітко передає саму ідею: місцева тінь може показати, наскільки змінюється напрямок поверхні Землі між віддаленими місцями.

Як тінь показує центральний кут Землі

Вертикальна палиця та довжина її тіні задають пропорції прямокутного трикутника, а напрямок сонячних променів визначає його третю сторону. За цим трикутником можна встановити кут між палицею та сонячними променями. Палиці не потрібно було простягатися через увесь Єгипет. Її завданням було позначити місцеву вертикаль в Александрії.

У Сієні, згідно з описом, Сонце стояло просто над головою, тож сонячне проміння збігалося з місцевою вертикаллю. В Александрії вертикальна палиця відхилялася від напрямку сонячних променів на кут, який можна було визначити за її тінню. Оскільки над Єгиптом сонячні промені падають майже паралельно, різниця між вертикальними напрямками в цих містах відповідає куту між напрямками на них із центра Землі (відкривається в новій вкладці). Отже, тінь палиці вимірює місцевий кут, що відповідає частині кривизни планети.

Час спостереження має значення. Місцевий полудень — це мить, коли Сонце перетинає місцевий меридіан, що проходить з півночі на південь. Тому за тінню можна визначити кут у напрямку, важливому для маршруту між містами. Спостереження під час літнього сонцестояння важливе тому, що, згідно з описом, саме тоді Сонце було просто над Сієною. Без цієї опорної точки в розрахунку довелося б також урахувати кут Сонця в Сієні.

Повне коло становить 360 градусів. Згаданий кут у 7.2 градуса — це одна п’ятдесята повного оберту. Якщо маршрут між Сієною та Александрєю відповідає одній п’ятдесятій кривизни Землі, його довжину можна помножити на 50, щоб оцінити довжину кола планети. В описі Smithsonian пояснюється цей крок розрахунку — одна п’ятдесята кола.

Як відстань між містами дає змогу оцінити більшу відстань

Іншою складовою була вказана відстань від Сієни до Александрії — 5,000 стадіїв. Якщо помножити 5,000 стадіїв на 50, отримаємо 250,000 стадіїв — довжину кола Землі. Пояснення Carnegie Institution (відкривається в новій вкладці) розповідає, як Ератосфен поєднав виміряну відстань із кутом тіні. Саме множення, а не спроба обійти всю планету, дало змогу масштабувати результат.

Якщо приблизно перевести відстань між містами в сучасні одиниці, вийде близько 800 km. Так легше уявити довжину базової відстані, хоча в розрахунку використовували стадії та множник. Максимальна ширина Гренландії зі сходу на захід становить 1,050 km (652 mi), тоді як максимальна ширина озера Вікторія — 240 km (149 mi). Відстань у Єгипті лежить між цими знайомими величинами.

Чому стадій змінює результат

Результат розрахунку виражений у стадіях — давній одиниці вимірювання, довжина якої не була всюди однаковою. Історики не можуть із певністю встановити, яким саме стадієм користувався Ератосфен. Якщо взяти сприятливе для оцінки припущення, один стадій дорівнював приблизно 157.5 m (відкривається в новій вкладці). За такої довжини 250,000 стадіїв дорівнюють приблизно 39,375 km.

Довжина кола Землі становить приблизно 40,000 km (відкривається в новій вкладці), тож після такого перерахунку оцінка Ератосфена відрізняється лише на кілька відсотків. Але такий близький результат залежить від того, який саме стадій обрати. Якщо кількість стадіїв залишається незмінною, коротша одиниця дасть меншу оцінку в кілометрах, а довша — більшу. Геометрія тіней може бути зрозумілою, хоча її переведення в сучасні одиниці залишається непевним.

Обговорення оцінки в Union University (відкривається в новій вкладці) пояснює, як запропонована довжина стадія впливає на результат. Для сучасних вимірювань також потрібно вказати одиницю та чітко визначити кінцеві точки — саме цей принцип лежить в основі визначення розмірів.

Що може і чого не може показати ця оцінка

У наведеній геометричній побудові припускається, що маршрут між Александрєю та Сієною проходить дугою з півночі на південь. Насправді міста не лежать точно на одній лінії в цьому напрямку: Александрія розташована на пару градусів західніше від Сієни за довготою, а не просто на північ від неї. Тому відстань, пройдена маршрутом, не дорівнює точно відстані вздовж меридіана (відкривається в новій вкладці). Разом із невизначеною довжиною стадія ці деталі обмежують точність порівняння давнього результату із сучасною довжиною кола Землі.

І все ж головний крок методу добре видно з наведених чисел. Кут тіні приблизно 7.2 градуса відповідав одній п’ятдесятій кола; маршрут завдовжки 5,000 стадіїв, помножений на 50, давав довжину кола Землі в 250,000 стадіїв. Палиця залишалася в Александрії, а її кут давав змогу використати виміряну ділянку Єгипту як зразок кривизни всієї Землі.