जार में जेली बीन्स की संख्या का अनुमान कैसे लगाएँ?

लगभग 1,180 cm³ के जार में, अगर हर जेली बीन का औसत आयतन 0.8 cm³ हो, तो खाली जगहों का हिसाब लगाने के बाद उसमें करीब 1,000 जेली बीन्स आ सकती हैं। जार में भरे हिस्से के आयतन को एक बीन के औसत आयतन से भाग दें, फिर परिणाम को लगभग दो-तिहाई (नए टैब में खुलता है) से गुणा करके संख्या का अनुमान लगाएँ।

पूरे जार की संख्या का अनुमान लगाते समय मिठाइयों के आकार में छोटे-छोटे अंतर भी मायने रखते हैं। अमेरिकी वन सेवा की हाईबश ब्लूबेरी पर समीक्षा (नए टैब में खुलता है) के अनुसार, एक ब्लूबेरी की चौड़ाई करीब 1.5 cm (0.59 in) होती है। चना जीवविज्ञान की समीक्षा (नए टैब में खुलता है) में बताया गया है कि सूखे चने की चौड़ाई 8 mm (0.31 in) होती है। भुनी हुई कॉफी की फली की लंबाई करीब 9 mm (0.35 in) होती है। यह चावल के दाने की लंबाई से करीब 1.5 गुना है। ये खाद्य पदार्थ आकार का अंदाज़ा देने के लिए हैं, जेली बीन्स के विकल्प नहीं: इनकी आकृतियाँ और इसलिए इनके आयतन अलग-अलग होते हैं।

मिठाइयों से भरी वास्तविक जगह मापें

जार के बाहर के बजाय उसके अंदरूनी माप लें, और माप केवल मिठाइयों के स्तर तक करें। मिठाइयों के ऊपर की खाली जगह को शामिल न करें। बेलनाकार जार के लिए, π को अंदरूनी त्रिज्या के वर्ग से गुणा करें, फिर भरे हुए हिस्से की ऊँचाई से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, मान लें कि जार का अंदरूनी व्यास 10 cm है और मिठाइयाँ 15 cm की ऊँचाई तक भरी हैं। त्रिज्या 5 cm है, इसलिए भरे हुए हिस्से का आयतन करीब 1,180 cm³, यानी 1.18 L होगा। इस आयतन में बीन्स और उनके बीच की हवा, दोनों की जगह शामिल है; यह केवल कैंडी का आयतन नहीं है।

आयताकार जार के लिए, उसकी अंदरूनी लंबाई और अंदरूनी चौड़ाई को मिठाइयों से भरे हिस्से की ऊँचाई से गुणा करें। ढलानदार कंधों या सँकरी गर्दन वाले जार के लिए, आयतन का अनुमान अलग-अलग हिस्सों में लगाएँ—जैसे सीधी दीवारों वाले हिस्से और पतले होते हिस्से में—फिर उन्हें जोड़ दें। इससे पूरे जार को बेलन मानने की तुलना में बेहतर अनुमान मिलेगा।

जेली बीन का आयतन अनुमानित करें

केवल लंबाई से यह पता नहीं चलता कि कितनी बीन्स आएँगी। बीन के आयतन में उसकी लंबाई और चौड़ाई के साथ-साथ मोटाई भी शामिल होती है। मोटे तौर पर हिसाब लगाने के लिए, अंडाकार जैसी बीन की कल्पना करें जो करीब 2 cm लंबी, 1 cm चौड़ी और 0.8 cm मोटी हो। उसका अनुमानित आयतन 0.8 cm³ है। गोल सिरों का भी महत्व है: अगर लंबाई, चौड़ाई और मोटाई को गुणा करके बीन को डिब्बे जैसी मानें, तो उसका आयतन ज़्यादा आँका जाएगा।

इस दृश्य अनुमान की जगह पानी के विस्थापन से माप ले सकते हैं। एक संकरी नाप-चिह्नित पात्र और थैले में से चुनी गई कुछ बीन्स का नमूना लें। पानी का शुरुआती स्तर लिख लें, गिनी हुई बीन्स को पूरी तरह डुबोएँ, फिर तुरंत पानी का नया स्तर पढ़ें। पानी से चीनी की परत नरम हो सकती है, इसलिए बीन्स को पात्र में पड़ा न रहने दें।

उदाहरण के लिए, अगर पानी 100 mL से बढ़कर 116 mL हो जाता है, तो नमूने ने 16 mL पानी विस्थापित किया। इस वृद्धि को नमूने की 20 बीन्स से भाग दें: औसत 0.8 mL प्रति बीन, यानी 0.8 cm³ होगा। एक मिलीलीटर और घन सेंटीमीटर बराबर आयतन की इकाइयाँ हैं। यह नतीजा नमूने की वास्तविक आकृति और मोटाई का औसत निकालता है, न कि इस आधार पर कि बीन देखने में कितनी बड़ी लगती है। अपने जार का हिसाब लगाते समय उदाहरण के लिए दिए गए 0.8 cm³ के बजाय अपने माप का औसत इस्तेमाल करें।

मिठाइयों के बीच की खाली जगह का हिसाब रखें

जार के आयतन को एक बीन के आयतन से भाग देने पर यह माना जाता है कि कैंडी जार की हर जगह भर देती है। डाली गई बीन्स एक-दूसरे के पास जम जाती हैं, लेकिन उनके गोल किनारों के बीच ऐसी जगहें बचती हैं जिनमें एक और बीन नहीं समा सकती। कच्ची संख्या को लगभग दो-तिहाई (नए टैब में खुलता है) से गुणा करें; इससे भरे हुए हिस्से का करीब एक-तिहाई भाग हवा मानकर चला जाता है।

100 cm³ के ढेर में करीब 67 cm³ कैंडी और करीब 33 cm³ खाली जगह होगी। बीन की आकृति और जार में मिठाइयाँ डालने का तरीका यह प्रभावित करता है कि वे कितनी सघनता से जमती हैं। इसलिए दो-तिहाई एक व्यावहारिक अनुमान है, हर जार पर लागू होने वाला अटल नियम नहीं।

इस सुधार का इस्तेमाल करें

उदाहरण वाले जार का आयतन 1,180 cm³ और अनुमानित बीन का आयतन 0.8 cm³ लें। भाग देने पर खाली जगहों का हिसाब लगाने से पहले करीब 1,475 बीन्स मिलती हैं। इस कच्ची संख्या को दो-तिहाई से गुणा करने पर करीब 980 बीन्स आती हैं। नतीजे को लगभग 1,000 जेली बीन्स तक पूर्णांकित करें; इससे यह संकेत नहीं मिलेगा कि गणना से बिल्कुल सटीक संख्या पता चल सकती है।

1.18 L का जार 1,180 cm³ के बराबर है—यही आयतन उदाहरण में इस्तेमाल हुआ है। दोनों मापों की इकाइयाँ एक जैसी रखें: घन सेंटीमीटर को घन सेंटीमीटर से, या मिलीलीटर को मिलीलीटर से भाग दें। लीटर और घन सेंटीमीटर को मिलाने से नतीजे में बड़ा अंतर आ सकता है।

अपने सामने रखे जार के हिसाब से अनुमान लगाएँ

जार की पूरी ऊँचाई के बजाय मिठाइयों के भरे हुए हिस्से की असली ऊँचाई मापें। अगर मिठाइयों की सतह ऊबड़-खाबड़ हो, तो सबसे ऊँची बीन तक मापने के बजाय उनकी औसत ऊँचाई का अनुमान लगाएँ। फिर जार के वास्तविक अंदरूनी माप और अपने नमूने के औसत आयतन का इस्तेमाल करके हिसाब लगाएँ।

रोज़मर्रा की चीज़ों के अनुमान लगाने के और तरीकों के लिए, ये अनुमान लगाने के सुझाव देखें। बीन्स के बीच छोड़ी गई हर खाली जगह जार का ही हिस्सा है, जिसका हिसाब आपके अनुमान में होना चाहिए।